[论文解读] The Geometry of Consistency: Decohering Histories in Generalized Quantum Theory

D. A. Craig|ArXiv.org|Apr 17, 1997

Quantum Mechanics and Applications参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文通过将退相干泛函解释为算子空间上的厄米形式，为广义一致历史量子理论中的退相干建立了一个几何框架。它证明了一致历史集合在该形式下对应于正交集合，推导出正退相干泛函的柯西-施瓦茨不等式和三角不等式，并为退相干泛函提供了统一的几何表征，包括针对经典算符的 ILS 定理的新版本。

ABSTRACT

The geometry of decoherence in generalized "consistent histories" quantum theory is explored, revealing properties of the theory that are independent of any particular application of it. It is shown how the decoherence functional of a closed quantum system may be regarded as an Hermitian form on the space of linear operators on the Hilbert space of the system. This identification makes manifest a number of structural properties of decoherence functionals. For example, a bound on the maximum number of histories in a consistent set is determined. When the decoherence functional is positive -- as in conventional quantum mechanics -- it defines a semi-inner product on the space of history operators. This shows that consistent sets of histories are just orthogonal sets in this inner product. It further implies the existence in general of Cauchy-Schwarz and triangle inequalities for positive decoherence functionals. The geometrical significance of the ILS theorem classifying all possible decoherence functionals is illuminated, and a version of the ILS theorem for decoherence functionals on class operators is given. The class of history operators consistent according to a given decoherence functional is found, and, conversely, it is shown how to construct the decoherence functionals according to which a given set of histories is consistent. More generally, the "geometric" point of view here developed supplies a powerful unified language with which to solve problems in generalized quantum theory.

研究动机与目标

• 为广义量子理论中的退相干泛函发展一种几何解释。
• 识别退相干的结构性质，独立于具体物理应用。
• 通过内积几何阐明一致历史集合的数学本质。
• 将 ILS 定理推广至作用于经典算符的退相干泛函。
• 为广义量子理论中的问题提供统一的几何语言。

提出的方法

• 将退相干泛函表示为希尔伯特空间上线性算子空间上的厄米形式。
• 利用该形式在泛函为正时定义一个半内积，从而实现几何分析。
• 将一致历史集合表征为该半内积下的正交集合。
• 从内积的半正定结构推导出柯西-施瓦茨不等式和三角不等式。
• 为作用于经典算符的退相干泛函构造 ILS 定理的一个版本。
• 建立一致历史集合与使其保持一致的退相干泛函之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义量子理论中的退相干泛函如何被几何地解释为算子空间上的厄米形式？
• RQ2 当退相干泛函为正时，一致历史集合的结构性约束是什么？
• RQ3 柯西-施瓦茨不等式和三角不等式如何从正退相干泛函的几何结构中自然导出？
• RQ4 ILS 定理在分类所有可能的退相干泛函时具有何种几何意义？
• RQ5 如何从给定的一致历史集合重构一个退相干泛函？

主要发现

• 作用于线性算子空间上的退相干泛函在形式上是一个厄米形式，揭示了其内在的几何结构。
• 当为正时，退相干泛函定义了一个半内积，使得一致历史集合等价于该空间中的正交集合。
• 从内积空间的几何约束中推导出一致集合中历史数量的有限上界。
• 柯西-施瓦茨不等式和三角不等式被证明对所有正退相干泛函成立，为干涉提供了定量约束。
• 为作用于经典算符的退相干泛函建立了一个 ILS 定理的新版本，推广了此类泛函的分类。
• 展示了构造性对偶性：对于任意一致历史集合，均可显式构造一个对应的退相干泛函以确保其一致性。