[논문 리뷰] The $H^{\infty}$-Functional Calculus and Square Function Estimates

N. J. Kalton, Lutz Weis|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 03.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 14인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에 값이 있는 함수에 대한 일반화된 $\gamma$-노름 제곱 함수 프레임워크를 도입하여, $R$-유계성과 제곱 함수 추정을 통한 $H^\infty$-함수적 계산 특성화를 가능하게 한다. 유한 코타입 바나흐 공간 위의 $C_0$-군이 스트립 위에서 $H^\infty$-계산을 가질 조건은 $e^{-a|s|}T_s$가 어떤 $a>0$에 대해 $R$-유계일 때이고, 섹터리얼 연산자가 $H^\infty$-계산을 가질 조건은 그가 $R$-유계 허수 거듭제곱을 가질 때임을 증명한다.

ABSTRACT

Using notions from the geometry of Banach spaces we introduce square functions $γ(Ω,X)$ for functions with values in an arbitrary Banach space $X$. We show that they have very convenient function space properties comparable to the Bochner norm of $L_2(Ω,H)$ for a Hilbert space $H$. In particular all bounded operators $T$ on $H$ can be extended to $γ(Ω,X)$ for all Banach spaces $X$. Our main applications are characterizations of the $H^{\infty}$--calculus that extend known results for $L_p$--spaces from \cite{CowlingDoustMcIntoshYagi}. With these square function estimates we show, e. g., that a $c_0$--group of operators $T_s$ on a Banach space with finite cotype has an $H^{\infty}$--calculus on a strip if and only if $e^{-a|s|}T_s$ is $R$--bounded for some $a > 0$. Similarly, a sectorial operator $A$ has an $H^{\infty}$--calculus on a sector if and only if $A$ has $R$--bounded imaginary powers. We also consider vector valued Paley--Littlewood $g$--functions on $UMD$--spaces.

연구 동기 및 목표

• 힐베르트 공간과 $L_p$ 공간을 초월하여 기하학적 함수해석학을 활용해 일반 바나흐 공간으로의 $H^\infty$-함수적 계산 특성화를 확장하는 것.
• 일반 바나흐 공간에서 격자 구조의 부재를 극복하기 위해 가우시안 난수 급수와 $\gamma$-노름에 기반한 새로운 제곱 함수 프레임워크를 도입하는 것.
• 유한 코타입을 가진 바나흐 공간에서 $C_0$-군과 섹터리얼 연산자에 대한 $H^\infty$-계산 존재성을 특성화하는 $R$-유계성 조건을 수립하는 것.
• UMD 공간과 바나흐 랏스터에 대한 벡터값 설정에서 고전적 펠레이–리틀우드 $g$-함수 추정을 일반화하는 것.
• 일반 바나흐 공간에서 $H^\infty$-계산, 유계 해석적 반군, 그리고 임의의 거듭제곱과 해석적 임계행렬의 $R$-유계성 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 힐베르트 공간에서 $L_2(\Omega,H)$의 보흐너 노름을 대체하기 위해 가우시안 난수 급수와 $\gamma$-노름을 사용한 새로운 제곱 함수 공간 $\gamma(\Omega,X)$를 도입한다.
• $R$-유계성과 동치인 가우시안 평균의 맥락에서의 $\gamma$-유계성 개념을 활용하여 연산자 확장과 함수적 계산 특성화의 핵심 도구로 사용한다.
• 복소 보간과 확장 기법을 적용하여 $L_p(\Omega)$ 위의 반군을 UMD 공간 $X$에 대해 $L_p(\Omega,X)$로 확장함으로써 해석성과 양성 유지.
• 유한 코타입 공간에서 $C_0$-군에 대해 $H^\infty$-계산과 $e^{-a|s|}T_s$의 $R$-유계성 간의 동치성을 수립한다.
• 섹터리얼 연산자의 로그를 적용하여 $A$와 $\log A$의 스펙트럼 성질을 연결함으로써 군 이론과 섹터리얼 연산자 이론을 연결한다.
• 벡터값 승수 정리와 보간 이론을 활용하여 힐베르트 공간에서의 결과를 UMD 및 바나흐 랏스터 설정으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 코타입 바나흐 공간 위의 $C_0$-군이 수직 스트립에서 $H^\infty$-함수적 계산을 가질 조건은 무엇인가?
• RQ2 UMD 공간 $X$에 대해 고전적 펠레이–리틀우드 $g$-함수 추정이 벡터값 $L_p(\Omega,X)$ 공간으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 $A^{it}$, $t\in[-1,1]$의 $R$-유계성이 섹터리얼 연산자가 $H^\infty$-계산을 가질 수 있는 충분조건인가?
• RQ4 일반 바나흐 공간에서 $H^\infty$-계산의 각도가 섹터리얼성 각도와 일치하는가, 아니면 힐베르트 공간에서만 그렇단 말인가?
• RQ5 $X=[X_0,H]_\theta$인 보간 공간 $X$에 대해, 복소 보간을 통해 $L_p(\Omega,H)$에서 $L_p(\Omega,X)$로 $H^\infty$-계산을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 코타입 바나흐 공간 위의 $C_0$-군 $T_s$는 스트립 위에서 $H^\infty$-계산을 가질 조건이 $\{e^{-a|s|}T_s : s \in \mathbb{R}\}$가 어떤 $a > 0$에 대해 $R$-유계일 때이다.
• 섹터리얼 연산자 $A$는 영역 위에서 $H^\infty$-계산을 가질 조건이 $A$가 $R$-유계 허수 거듭제곱을 가질 때이다.
• 유한 코타입 공간 위의 섹터리얼 연산자 $A$에 대해 $\{A^{it} : t \in [-1,1]\}$의 $R$-유계성이 $A$의 $H^\infty$-계산 존재성을 암시한다.
• $H^\infty$-계산 각도 $\omega_{H^\infty}(A)$는 거의 $R$-섹터리얼성 각도와 일치하며, 이는 자연스러운 계산 프레임워크를 제공한다.
• $L_p(\Omega,X)$ 위의 연산자 $\mathbf{A}^\otimes$는 $\sigma < \pi/2$일 때 $H^\infty(\Sigma(\sigma))$-계산을 가진다. 이는 $X$가 $X_0$가 UMD이고 $H$가 힐베르트 공간일 때의 복소 보간 공간 $[X_0,H]_\theta$이며, $A$가 $L_p(\Omega)$ 위에서 유계 해석적, 양성, 수축 반군을 생성할 때 성립한다.
• 결과는 UMD 성질을 가진 바나흐 랏스터로도 확장되며, 이 경우 펠레이–리틀우드 추정은 고전적 형태를 취하고, $L_p(\Omega,X)$ 위에서 분수 거듭제곱 $\mathbf{(A^\alpha)}^\otimes$에 대해 $H^\infty$-계산이 성립한다.