[논문 리뷰] The Haagerup property is stable under graph products

Yago Antolín, Dennis Dreesen|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 29.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 26인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 자유곱과 직접곱의 일반화인 그래프 곱에서 Haagerup 성질이 보존됨을 증명한다. 등변 및 비등변 $L_p$-압축성에 대한 정량적 경계를 제공하고, 정점 군들의 점근적 차원에 대한 그래프 곱의 점근적 차원에 대한 상계를 증명하며, 오른쪽-각 코크세터 군에 대한 Dranishnikov의 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

The Haagerup property, which is a strong converse of Kazhdan's property $(T)$, has translations and applications in various fields of mathematics such as representation theory, harmonic analysis, operator K-theory and so on. Moreover, this group property implies the Baum-Connes conjecture and related Novikov conjecture. The Haagerup property is not preserved under arbitrary group extensions and amalgamated free products over infinite groups, but it is preserved under wreath products and amalgamated free products over finite groups. In this paper, we show that it is also preserved under graph products. We moreover give bounds on the equivariant and non-equivariant $L_p$-compressions of a graph product in terms of the corresponding compressions of the vertex groups. Finally, we give an upper bound on the asymptotic dimension in terms of the asymptotic dimensions of the vertex groups. This generalizes a result from Dranishnikov on the asymptotic dimension of right-angled Coxeter groups.

연구 동기 및 목표

• 그래프 곱에서 Haagerup 성질이 자유곱과 직접곱의 자연스러운 일반화이므로 그 보존 여부를 규명하는 것.
• 등변 및 비등변 $L_p$-압축성에 대한 경계를 통해 그래프 곱에 대한 Haagerup 성질을 정량화하는 것.
• 오른쪽-각 코크세터 군에 대한 Dranishnikov의 점근적 차원 경계를 일반적인 그래프 곱으로 일반화하는 것.
• 그래프 곱의 점근적 차원과 그 정점 군들의 점근적 차원 간의 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• 정의된 그래프의 정점 수에 대한 귀납법을 사용하여 그래프 곱의 점근적 차원을 경계짓는다.
• 그래프 곱의 구조를 통해 합성 자유곱과 직접곱에 대한 기존의 점근적 차원 경계를 적용한다.
• 등변 및 비등변 케이스에 중점을 두고, $L_p$-공간으로의 코arse 임bedding을 통한 $L_p$-압축성 분석.
• 정의된 그래프의 완전부분그래프(클리크)에 관련된 부분군으로의 그래프 곱의 분해를 활용한다.
• 유한한 정점 군을 다루기 위해 $\max(1, \operatorname{adim}G_v)$를 정의하여 경계가 날카롭게 유지되도록 보장한다.
• 합성 자유곱과 직접곱에서 점근적 차원이 부분합성임을 이용하여 이를 재귀적으로 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유곱과 직접곱을 일반화하는 그래프 곱에서 Haagerup 성질이 보존되는가?
• RQ2 그래프 곱의 $L_p$-압축성은 그 정점 군들의 $L_p$-압축성에 의해 경계될 수 있는가?
• RQ3 그래프 곱의 점근적 차원은 그 정점 군들의 점근적 차원과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 오른쪽-각 코크세터 군에 대한 점근적 차원 경계가 일반적인 그래프 곱으로까지 확장되는가?
• RQ5 유한한 정점 군은 그래프 곱의 점근적 차원과 압축 경계에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• Haagerup 성질은 그래프 곱에서 안정적이며, 질문 1.1에 대해 긍정적으로 답한다.
• 그래프 곱의 등변 $L_p$-압축성은 정점 군들의 해당 압축성의 최솟값보다 작지 않다.
• 그래프 곱의 비등변 $L_p$-압축성은 정점 군들의 압축성의 최솟값보다 작지 않다.
• 그래프 곱 $G = \Gamma\mathfrak{G}$의 점근적 차원은 $\operatorname{adim}G \leq \max_{C \in \mathcal{C}} \sum_{v \in C} \max(1, \operatorname{adim}G_v)$를 만족한다. 여기서 $\mathcal{C}$는 정의된 그래프의 클리크의 집합이다.
• 예를 들어, 무한 이면각 군 $n$개와 $\mathbb{Z}$의 $m$개 복사본의 곱에서 $\operatorname{adim}G = m+n$임을 보여, 경계가 날카롭다는 것을 입증한다.
• 결과는 오른쪽-각 코크세터 군에 대한 Dranishnikov의 경계를 일반화하여, 임의의 유한 생성 정점 군을 가진 일반적인 그래프 곱으로 확장한다.