[논문 리뷰] The Heisenberg Uncertainty Principle and the Nyquist-Shannon Sampling Theorem

Pierre A. Millette|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 16.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 하이젠베르크 불확정성 원리를 양자역학의 본질적 불확정성보다는 푸리에 변환 이론의 결과로 재해석한다. 이는 위치와 운동량과 같은 쌍대 변수 간의 수학적 관계에서 비롯되며, 본질적인 양자 불확정성보다는 측정 제약 조건에 기인한다고 주장한다. 논문은 뉴퀴스트-샤논 샘플링 정리를 양자 측정 한계에 대한 더 정확한 기술로 제안하며, 고체물리학에서의 브릴루앙 영역이 이 샘플링 원리가 양자 수준에서 나타나는 것임을 보여주며, 측정 제약 조건—불확정성 자체가 아니라—이러한 양자 행동의 인식을 규정한다고 시사한다.

ABSTRACT

The derivation of the Heisenberg Uncertainty Principle (HUP) from the Uncertainty Theorem of Fourier Transform theory demonstrates that the HUP arises from the dependency of momentum on wave number that exists at the quantum level. It also establishes that the HUP is purely a relationship between the effective widths of Fourier transform pairs of variables (i.e. conjugate variables). We note that the HUP is not a quantum mechanical measurement principle per se. We introduce the Quantum Mechanical equivalent of the Nyquist-Shannon Sampling Theorem of Fourier Transform theory, and show that it is a better principle to describe the measurement limitations of Quantum Mechanics. We show that Brillouin zones in Solid State physics are a manifestation of the Nyquist-Shannon Sampling Theorem at the quantum level. By comparison with other fields where Fourier Transform theory is used, we propose that we need to discern between measurement limitations and inherent limitations when interpreting the impact of the HUP on the nature of the quantum level. We further propose that while measurement limitations result in our perception of indeterminism at the quantum level, there is no evidence that there are any inherent limitations at the quantum level, based on the Nyquist-Shannon Sampling Theorem.

연구 동기 및 목표

• 양자역학과는 별개로 푸리에 변환 이론에서 유도된 하이젠베르크 불확정성 원리(HUP)를 재평가한다.
• HUP가 자연의 본질적 제약 조건이 아니라 측정 제약 조건을 반영한다는 해석을 도전한다.
• 뉴퀴스트-샤논 샘플링 정리를 양자 측정 한계를 묘사하는 보완적이고 더 정확한 원리로 도입한다.
• 고체물리학에서의 브릴루앙 영역이 뉴퀴스트-샤논 샘플링 정리가 양자 척도에서 나타나는 물리적 실현임을 보여준다.
• 양자 시스템은 본질적으로 불확정성이 아니며, 불확정성이 나타나는 것은 푸리에 이중성에 기인한 측정 제약 조건 때문임을 주장한다.

제안 방법

• 분산과 평균을 통해 정의된 함수 쌍의 유효 폭을 사용하여 푸리에 변환 이론의 불확정성 정리에서 HUP를 유도한다.
• 시간/주파수와 위치/파수 쌍에 대한 푸리에 변환 쌍 관계를 적용하여 각각 각진 주파수 및 순환 주파수 형태의 불확정성 관계를 도출한다.
• 드 브로이 관계(p = h/λ 또는 p = ħk)를 사용하여 파수와 운동량을 연결하며, Δx·Δp ≥ h/2임을 보여준다.
• 뉴퀴스트-샤논 샘플링 정리를 양자역학적 등가로 도입하여, 한 쌍대 변수를 정기적으로 샘플링하면 HUP 한계 이하의 값을 접근할 수 있음을 보여준다.
• 고체물리학에서의 브릴루앙 영역을 양자 척도에서 뉴퀴스트-샤논 샘플링 정리의 물리적 실현으로 분석한다.
• HUP와 샘플링 정리의 h/2 등가점에서의 겹침을 비교하여, 이는 물리적 의미가 없는 수학적 우연임을 결론내린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이젠베르크 불확정성 원리는 양자역학과 별개로 푸리에 변환 이론에서 순수하게 유도될 수 있는가?
• RQ2 HUP는 자연의 본질적 제약 조건인가, 아니면 측정 제약 조건의 결과인가?
• RQ3 뉴퀴스트-샤논 샘플링 정리는 HUP보다 양자 측정 한계를 이해하는 데 더 나은 프레임워크를 제공하는가?
• RQ4 고체물리학에서의 브릴루앙 영역은 뉴퀴스트-샤논 샘플링 정리가 양자 척도에서 나타나는가?
• RQ5 정기적인 샘플링을 통해 HUP 한계 이하의 양자 변수를 측정할 수 있는가, 샘플링 정리의 예측에 따르면?

주요 결과

• 푸리에 이론에서 유도된 HUP는 Δx·Δp의 곱에 대해 기존의 표현과는 달리 h/2의 하한을 제공하며, 이는 전통적 표현과 모순된다.
• HUP는 양자역학적 본질적 불확실성보다는 푸리에 변환 쌍에서의 쌍대 변수 간의 수학적 관계에서 비롯된다.
• 뉴퀴스트-샤논 샘플링 정리는 정기적인 샘플링을 통해 HUP 한계 이하의 변수 값을 접근할 수 있음으로써 HUP를 보완한다.
• 고체물리학에서의 브릴루앙 영역은 뉴퀴스트-샤논 샘플링 정리가 양자 척도에서 나타나는 물리적 실현임을 입증한다.
• HUP와 샘플링 정리의 h/2에서 겹치는 부분은 물리적 의미가 없는 수학적 우연이다.
• 측정 제약 조건이 본질적 불확실성 때문이 아니라, 이것이 양자 시스템이 불확정적으로 보이는 이유를 설명한다. 이는 적절히 샘플링하면 양자 시스템이 결정론적일 수 있음을 시사한다.