[논문 리뷰] The Higson-Roe sequence for \\'{e}tale groupoids. I. Dual algebras and compatibility with the BC map

Moulay-Tahar Benameur, Indrava Roy|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 18.

Advanced Topics in Algebra인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 적절한 에탈 군oids 작용을 위한 이중 로 대수를 도입하여 히그슨-로 대수적 수술 완전열을 수립한다. 이는 파스클레-히그슨 이중성 구성에 의해 관련 K-이론 여섯 항목 완전열의 경계 사상이 바움-콘스 지도와 일치함을 규명하며, 유계 기하 구조를 가진 연속적인 G-가족에 대한 코arse G-지표를 정의하여 패터슨과 콘스의 지표 클래스를 일반화한다.

ABSTRACT

We introduce the dual Roe algebras for proper \\'{e}tale groupoid actions and deduce the expected Higson-Roe short exact sequence. When the action is cocompact, we show that the Roe $C^*$-ideal of locally compact operators is Morita equivalent to the reduced $C^*$-algebra of our groupoid, and we further identify the boundary map of the associated periodic six-term exact sequence with the Baum-Connes map, via a Paschke-Higson map for groupoids. For proper actions on continuous families of manifolds of bounded geometry, we associate with any $G$-equivariant Dirac-type family, a coarse index class which generalizes the Paterson index class and also the Moore-Schochet Connes' index class for laminations.

연구 동기 및 목표

• 하우스도르프 에탈 군oids의 적절한 작용에 대해 히그슨-로 대수적 수술 완전열을 확장하기 위해.
• 적절한 에탈 군oids 작용에 대한 이중 로 대수를 정의하고 관련된 단순 완전열을 수립하기 위해.
• 파스클레-히그슨 이중성에 의해 주어진 K-이론 주기적 완전열의 경계 사상을 바움-콘스 조립 지도와 일치시키기 위해.
• 유계 기하 구조를 가진 연속적인 G-가족에 대해 패터슨 지표 클래스와 무어-쇼케트-콘스 지표 클래스를 코arse G-지표 구성에 의해 일반화하기 위해.
• 공-콤��� 작용 하에서 국소적으로 컴팩트 연산자의 로 C*-이디얼과 군oids의 축소 C*-대수 사이의 모리타 동치를 수립하기 위해.

제안 방법

• 연속적인 힐베르트 모듈러스의 필드와 정규 연산자들을 사용하여 적절한 에탈 군oids 작용에 대한 이중 로 대수를 구성한다.
• 파스클레-히그슨 이중성을 적용하여 K-이론 완전열의 경계 사상을 바움-콘스 지도와 연결한다.
• 정규 연산자에 대한 스펙트럴 정리에 의해 연속적인 유계 자기수반 연산자 필드에 의해 유도된 힐베르트 모듈러스 위에서의 함수 계산을 정의한다.
• 연속적인 유계 기하 구조 다발의 G--equivariant 딜라 타입 가족에 대해 코arse G-지표 클래스를 정의한다.
• 작용이 공-콤팩트일 경우, 로 C*-이디얼과 군oids의 축소 C*-대수 사이의 모리타 동치를 수립한다.
• 히그슨-로 프로그램을 군oids 작용에 적용하여 고전적 수술 완전열을 비미분 가능성 및 비콤팩트 성질로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히그슨-로 대수적 수술 완전열은 어떻게 적절한 에탈 군oids 작용으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 이중 로 대수는 어떻게 에탈 군oids에 대한 히그슨-로 완전열을 구성하는 데 기여하는가?
• RQ3 군oids 설정에서 K-이론 여섯 항목 완전열의 경계 사상은 바움-콘스 조립 지도와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 라미네이션과 패터슨의 지표를 어떻게 연속적인 G-가족의 일반화된 지표를 통해 통합할 수 있는가?
• RQ5 로 C*-이디얼이 군oids의 축소 C*-대수와 모리타 동치가 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 이중 로 대수 구성은 적절한 에탈 군oids 작용에 대해 히그슨-로 단순 완전열을 유도한다.
• 작용이 공-콤팩트일 경우, 국소적으로 컴팩트 연산자의 로 C*-이디얼은 군oids의 축소 C*-대수와 모리타 동치이다.
• 주기적 K-이론 여섯 항목 완전열의 경계 사상은 파스클레-히그슨 이중성 구성에 의해 바움-콘스 지도와 일치된다.
• 모든 G--equivariant 딜라 타입 가정에 대해 연속적인 G-가족의 유계 기하 구조 다발에 대해 코arse G-지표 클래스가 정의되며, 패터슨과 콘스의 지표 클래스를 모두 일반화한다.
• 힐베르트 모듈러스 위에서의 정규 연산자에 대한 함수 계산은 연속적인 유계 연산자 필드와 호환되며, 이는 지표 구성의 잘 정의성을 보장한다.
• 이 구성은 비미분성 및 비콤팩트 성질로 일반화된 수술 완전열을 제공하며, 히그슨-로 프로그램을 에탈 군oids 설정으로 확장한다.