[논문 리뷰] The Hilbert spectrum and the Energy Preserving Empirical Mode Decomposition

Pushpendra Singh, Shiv Dutt Joshi외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 16.

Machine Fault Diagnosis Techniques참고 문헌 21인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 신호를 내재 모드 함수(IMF)로 분해할 때 전체 에너지를 유지하는 두 가지 에너지 보존 경험이론 분해(EPEMD) 알고리즘을 제안한다. 첫 번째 알고리즘은 선형 독립적이지만 직교하지 않은 에너지 보존 IMF(LINOEP)를 생성하며, 두 번째 알고리즘은 역순서 그람-슈미트 직교화를 통해 직교하고 상관성이 없는 IMF를 생성하여 에너지 누설을 크게 감소시키고 힐버트 스펙트럼의 시간-주파수 해상도를 향상시킨다.

ABSTRACT

In this paper, we propose algorithms which preserve energy in empirical mode decomposition (EMD), generating finite $n$ number of band limited Intrinsic Mode Functions (IMFs). In the first energy preserving EMD (EPEMD) algorithm, a signal is decomposed into linearly independent (LI), non orthogonal yet energy preserving (LINOEP) IMFs and residue (EPIMFs). It is shown that a vector in an inner product space can be represented as a sum of LI and non orthogonal vectors in such a way that Parseval's type property is satisfied. From the set of $n$ IMFs, through Gram-Schmidt orthogonalization method (GSOM), $n!$ set of orthogonal functions can be obtained. In the second algorithm, we show that if the orthogonalization process proceeds from lowest frequency IMF to highest frequency IMF, then the GSOM yields functions which preserve the properties of IMFs and the energy of a signal. With the Hilbert transform, these IMFs yield instantaneous frequencies and amplitudes as functions of time that reveal the imbedded structures of a signal. The instantaneous frequencies and square of amplitudes as functions of time produce a time-frequency-energy distribution, referred as the Hilbert spectrum, of a signal. Simulations have been carried out for the analysis of various time series and real life signals to show comparison among IMFs produced by EMD, EPEMD, ensemble EMD and multivariate EMD algorithms. Simulation results demonstrate the power of this proposed method.

연구 동기 및 목표

• 기존 EMD에서 IMF 에너지의 합이 원래 신호 에너지와 일치하지 않는 에너지 누설 문제를 해결하기 위해.
• 에너지 보존, 선형 독립적이며 직교하지 않은 IMF(LINOEP)를 생성하기 위한 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 개발하기 위해.
• 역순서 주파수 순서에서 그람-슈미트 직교화를 적용하여 에너지 누설을 제거하고 IMF 특성과 신호 에너지를 유지하기 위해.
• 합성 및 실세계 신호에 대해 EMD, EEMD, MEMD와의 비교를 통해 제안된 EPEMD 방법의 유효성을 통계적 유의성 검정을 통해 검증하기 위해.

제안 방법

• 비직교적이며 선형 독립적인 분해에서 파르세발 유형 에너지 보존을 보장하는 LINOEP IMF와 잔여항을 생성하는 첫 번째 EPEMD 알고리즘을 제안한다.
• LINOEP IMF 집합에 그람-슈미트 직교화(GSOM)를 적용하여 총 n!개의 가능한 직교 함수 집합을 생성한다.
• 가장 낮은 주파수에서 가장 높은 주파수로 IMF를 순서대로 처리하는 역순서 GSOM 과정을 도입하여 IMF 성질과 에너지를 직교화 과정 중에 유지한다.
• 결과로 얻은 직교 IMF에 힐버트 변환을 적용하여 순순간 주파수와 진폭을 계산하고, 이를 시간-주파수-에너지 분포로 구성하는 힐버트 스펙트럼을 형성한다.
• 5번째 및 95번째 백분위수를 신뢰구간으로 사용하여 산란 함수 플롯을 통한 통계적 유의성 검정을 수행하여 IMF 성분이 진짜 신호인지 노이즈에서 유래한 잡음인지 평가한다.
• EMD, EEMD, MEMD 및 제안된 EPEMD 방법 간의 에너지 누설(Pee), 직교성 지수, 힐버트 스펙트럼 해상도를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내재 모드 함수의 성질을 유지하면서 선형 독립적이지만 직교하지 않은 에너지 보존 IMF로 신호를 분해할 수 있는가?
• RQ2 역순서 주파수 순서에서 그람-슈미트 직교화를 적용할 경우, IMF 특성과 전체 신호 에너지가 유지되는가?
• RQ3 제안된 EPEMD 방법은 기존의 EMD, EEMD, MEMD와 비교해 어떻게 에너지 누설을 감소시키는가?
• RQ4 EPEMD에 의해 생성된 IMF들은 통계적으로 유의미한가, 아니면 노이즈에서 유래한 허위 성분인가?
• RQ5 EPEMD에서 유도된 힐버트 스펙트럼은 기존 EMD 변종에 비해 시간-주파수-에너지 해상도 측면에서 얼마나 더 명확한가?

주요 결과

• 첫 번째 EPEMD 알고리즘은 LINOEP IMF와 잔여항을 성공적으로 생성하여, 파르세발 유형 성질을 만족하는 잘 정의된 수학적 공식화를 통해 에너지 보존을 보장한다.
• 두 번째 EPEMD 알고리즘은 역순서 GSOM을 사용하여 직교하고 상관성이 없는 IMF(ROIMFs 및 ROUIMFs)를 생성하며, 이는 IMF 특성과 전체 신호 에너지를 유지한다.
• 에너지 누설(Pee)은 EPEMD에서 3.181×10⁻¹³으로 감소하였고, EMD의 -1.014×10⁷ 및 EEMD의 113.54와 비교해 거의 완벽한 에너지 보존을 보여준다.
• 통계적 유의성 검정 결과, EPIMFs, ROIMFs, ROUIMFs는 흰색 가우시안 노이즈의 5번째 및 95번째 백분위수 범위 내에 유지되어 진짜 신호 성분임을 확인하였으며, EMD 및 EEMD의 많은 IMF 및 FOIMFs와 달리 노이즈에서 유래한 허위 성분이 아님을 입증한다.
• 선형 체이프 신호의 시간-주파수 분석 결과, EPEMD는 극미소한 에너지 누설 덕분에 뚜렷한 잡음 없이 우수한 추적 성능을 보였다.
• 전반적 및 국소 직교성 지수는 ROIMFs 및 ROUIMFs가 기존 EMD 및 EEMD에 비해 직교성 측면에서 뚜렷한 향상을 보였음을 확인한다.