[논문 리뷰] The Hochschild cohomology ring of the standard Podles quantum sphere

Ulrich Kraehmer|ArXiv.org|2008. 06. 10.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 표준 Podleß 양자 2차원 구면 $\mathbb{C}_q[S^2]$의 비틀린 Hochschild 코hom로 링을 계산하며, 컵 및 캡 곱을 사용하여 기본 클래스를 나타내는 순환 2-코사이클을 구성한다. 비틀린 도약과 추적을 통해 정의된 $H_2(A, {}_{\sigma_{\text{mod}}}A)$ 위의 기능적 $\varphi$가 코 boundary를 더함으로써 비자명한 순환 코사이클로 내림내림됨을 보여주며, Connes-Moscovici의 Hopf-순환 호모로지 프레임워크에서 핵심 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The cup and cap product in twisted Hochschild (co)homology is computed for the standard quantum 2-sphere and used to construct a cyclic 2-cocycle that represents the fundamental Hochschild class.

연구 동기 및 목표

• 표준 Podleß 양자 2차원 구면 $\mathbb{C}_q[S^2]$에 대한 비틀린 Hochschild (코)호모로지에서 컵 곱과 캡 곱을 계산한다.
• 이전 연구에서 관찰된 Hochschild 호모로지에서의 자명성 문제를 해결하기 위해 순환 호모로지에서 기본 클래스를 나타내는 순환 2-코사이클을 구성한다.
• 비틀린 도약과 모듈라 자동사상 $\sigma_{\text{mod}}$의 개념적 역할을 규명하여 코호모로지에서 양자화된 외부 대수의 구조를 생성한다.
• 비틀린 도약과 추적을 통해 정의된 $H_2(A, {}_{\sigma_{\text{mod}}}A)$ 위의 기능적 $\varphi$가 코 boundary를 더함으로써 비자명한 순환 코사이클이 됨을 보인다.

제안 방법

• 비틀린 도약 $[\partial_{\pm 1}] \in H^1(A, {}_{\sigma^{-1}_{\text{mod}}}A)$의 컵 곱을 계산하여, 그것이 고전적 $SU(2)$-불변 벡장장 관계의 양자화된 형태를 만족함을 보인다.
• 비틀린 추적 $\int$를 $\mathbb{C}_q[SL(2)]$의 코유닛으로부터 얻어, 기능적 $\varphi$를 $\varphi([\omega]) = q^{-1} \int [\omega] \frown ([\partial_1] \smallsmile [\partial_{-1}])$로 정의한다.
• 비틀린 중심을 다항식 링 $k[x_0]$로 식별하고, 모든 비자명한 $H_2(A, {}_{\sigma^n_{\text{mod}}}A)$의 합이 이 링 위의 자유 모듈러스로 구성됨을 보인다.
• 비틀린 중심의 캡 곱 작용을 사용하여 $H_2(A, {}_{\sigma^n_{\text{mod}}}A)$의 구조와 $H^0(A,A)$와의 쌍대성을 기술한다.
• Connes의 $\mathsf{SBI}$-시퀀스를 적용하여 Hochschild 호모로지와 순환 호모로지를 연결하고, $HC_n(A)$의 밸런스를 식별하며, $\mathsf{I}$ 사상으로 관련 부분을 분리한다.
• 특정 텐서 단항식에서 정의된 $\phi$에 대해 $\eta = \phi \circ \mathsf{b}$로 정의된 코 boundary $\eta$를 $C_2^{\sigma_{\text{mod}}}$ 위에 구성하여, $\varphi + \eta$가 $HC_2(A)$에서 순환적이고 비자명함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 Podleß 양자 2차원 구면의 비틀린 Hochschild (코)호모로지에서 컵 곱과 캡 곱은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 비틀린 도약과 추적을 통해 정의된 $H_2(A, {}_{\sigma_{\text{mod}}}A)$ 위의 기능적 $\varphi$는 비자명한 순환 코사이클로 승격될 수 있는가?
• RQ3 비틀린 중심과 모듈라 자동사상 $\sigma_{\text{mod}}$는 $\mathbb{C}_q[S^2]$의 Hochschild 호모로지와 코호모로지를 조직하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 Schmütgen-Wagner의 순환 2-코사이클이 Hochschild 호모로지에서 왜 0이 되는가? 그리고 이를 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ5 비가환 설정에서 $HC_n(A)$의 구조는 기저가 되는 Hochschild 호모로지와 $\mathsf{SBI}$-시퀀스와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 비틀린 도약 $[\partial_1]$과 $[\partial_{-1}]$의 컵 곱은 양자 관계 $[\partial_1]\smallsmile[\partial_1] = [\partial_1]\smallsmile[\partial_{-1}] + q^2[\partial_{-1}]\smallsmile[\partial_1] = [\partial_{-1}]\smallsmile[\partial_{-1}] = 0$를 만족하며, 이는 양자화된 외부 대수를 이룬다.
• 기능적 $\varphi$는 $\varphi(a_0,a_1,a_2) = q^{-1}\varepsilon(a_0)F(a_1)E(a_2)$로 주어지며, 여기서 $E,F$는 $\partial_{\pm 1}$로부터 유도된 비틀리지 않은 도약이다.
• 비틀린 중심은 $k[x_0]$와 동형이며, $n \geq 1$에 대해 모든 $H_2(A, {}_{\sigma^n_{\text{mod}}}A)$의 합은 이 링 위의 랭크 1의 자유 모듈러스이다.
• 기능적 $\varphi$는 순환적이지 않다. 왜냐하면 $\varphi(1,x_1,x_{-1}) = q^{-1} \neq 0$ 이기 때문이다. 그러나 코 boundary $\eta = \phi \circ \mathsf{b}$를 더함으로써 순환적이 된다.
• 코 boundary $\eta$는 $A \otimes A$ 위의 기능적 $\phi$에 의해 정의되며, $\phi(1,x_0)$, $\phi(1,x_0^2)$, $\phi(x_0,x_0)$에서만 비자명한 값을 가지며, 각각 $\frac{1}{q^{-2}-1}$, $\frac{1}{q-q^{-1}}$, $\frac{1}{2(q-q^{-1})}$의 값을 갖는다.
• 수정된 기능적 $\varphi + \eta$는 순환적이며 $HC_2(A)$에서 비자명한 기능적을 유도하며, Schmütgen과 Wagner의 이전 구성에서의 자명성 문제를 해결한다.