[논문 리뷰] The index of projective families of elliptic operators: the decomposable case

Varghese Mathai, Richard Melrose외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 08. 29.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 22인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 분해 가능한 경우, 즉 딕스미에르-두아드 클래스가 α ∪ β로 분해되며 α ∈ H¹(X;ℤ), β ∈ H²(X;ℤ), φ*β = 0 총공간에서 성립할 때, 프로젝티브 가족의 타원형 연산자에 대해 분석적 지수와 위상적 지수의 동치를 확립한다. 핵심 기여는 난이도 있는 K-이론 지수 클래스가 매끄러운 아자마야 번들의 정밀화를 갖추고 있으며, 이로 인해 난이도 있는 체르니-베일 계산이 가능해지고, 이 설정에서 지수 정리를 증명할 수 있다는 것이다.

ABSTRACT

An index theory for projective families of elliptic pseudodifferential operators is developed when the twisting, i.e. Dixmier-Douady, class is decomposable. One of the features of this special case is that the corresponding Azumaya bundle can be realized in terms of smoothing operators. The topological and the analytic index of a projective family of elliptic operators both take values in the twisted K-theory of the parameterizing space. The main result is the equality of these two notions of index. The twisted Chern character of the index class is then computed by a variant of Chern-Weil theory.

연구 동기 및 목표

• H³(X;ℤ)에 있는 분해 가능 스트레스 클래스 δ = α ∪ β를 가진 난이도 있는 K-이론으로 가족 지수 정리를 확장하는 것.
• β 가 가속의 총공간에서 비틀어지면 관련 아자마야 번들이 매끄러운 정밀화를 갖는다는 것을 보여주는 것.
• 이러한 조건 하에서 난이도 있는 K-이론에서 분석적 지수와 위상적 지수의 동치를 증명하는 것.
• 체르니-베일 이론의 변형을 사용하여 지수 클래스의 난이도 있는 체르니-베일 특성을 계산하는 것.

제안 방법

• α ∈ H¹(X;ℤ)를 표현하는 매끄러운 함수 u ∈ C∞(X; U(1))를 사용하여 δ 클래스를 가진 주 PU-다발을 구성한다.
• c₁(L) = β ∈ H²(X;ℤ)인 헤르미트 선다발 L 을 구성하고, 조건 φ*β = 0 을 이용해 총공간 Y 에서 β 를 비틀어지게 한다.
• φ: Y → X 를 가속으로 간주하며, β 의 역상이 0 이 되므로 X 위에 매끄러운 아자마야 번들 A 를 구성할 수 있다.
• 분석적 지수는 Y 위의 타원형 연산자 가족을 통해 정의되며, 난이도 있는 K-이론 K⁰(X; α, β) 값을 갖는다.
• 위상적 지수는 난이도 있는 코homology의 체르니-베일 특성으로 정의되며, 체르니-베일 유형의 구성으로 계산된다.
• 주요 결과는 분석적 지수와 위상적 지수가 K⁰(X; α, β) 내에서 일치한다는 것을 보여줌으로써 증명된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 딕스미에르-두아드 클래스가 α ∈ H¹(X;ℤ), β ∈ H²(X;ℤ)로 분해 가능할 때, 프로젝티브 가족의 타원형 연산자에 대해 지수 정리가 성립하는가?
• RQ2 이러한 분해 가능 클래스와 관련된 아자마야 번들이 스무스링된 연산자 번들의 정밀화를 갖는가?
• RQ3 β 가 총공간 Y 에로의 역상이 언제 0 이 되며, 이는 지수 이론에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 이 설정에서 미분기하학적 방법을 사용하여 지수 클래스의 난이도 있는 체르니-베일 특성을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ5 스트레스 클래스가 분해 가능하고 β 가 Y 에서 비틀어지면, 난이도 있는 K-이론에서 분석적 지수와 위상적 지수가 동일한가?

주요 결과

• 딕스미에르-두아드 클래스가 α ∪ β 로 분해되고 φ*β = 0 이 Y 에서 성립할 경우, 프로젝티브 가족의 타원형 연산자에 대해 난이도 있는 K-이론에서 분석적 지수와 위상적 지수는 동일하다.
• δ = α ∪ β 를 스트레스 클래스로 갖는 아자마야 번들은 매끄러운 정밀화를 갖추며, 이는 지수 문제에 대한 미분기하학적 접근을 가능하게 한다.
• 지수 클래스의 난이도 있는 체르니-베일 특성은 선다발 L 의 접속의 곡률 형식을 사용하는 체르니-베일 이론의 변형을 통해 계산된다.
• 성질 g > 1 인 리만 곡면의 보편 가족의 경우, 호지 다발 Λ 는 c₁(Λ) = (13/12)e₁ 를 만족하며, 여기서 e₁ 은 첫 번째 문마프-모리타-밀러 클래스이다.
• 행렬식 선다발 det(Λ)⊗¹² 는 c₁(det(Λ)⊗¹²) = 13e₁ 를 만족하며, 이는 𝒪ℳ_g 위에 c₁(L) = 13e₁ 인 선다발 L 을 제공한다.
• 𝕋 × 𝒪ℳ_g 위에 분석적 지수가 K⁰(𝕋 × 𝒪ℳ_g; a ∪ e₁) 에 속하는 표준적인 프로젝티브 가족의 디랙 연산자를 구성한다. 여기서 a 는 H¹(𝕋;ℤ) 를 생성한다.