[논문 리뷰] The influence of the rolling resistance model on tippe top inversion

Alexander A. Kilin, Elena N. Pivovarova|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 15.

Magnetic Bearings and Levitation Dynamics참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다양한 마찰력 모델이 히프탑의 역전 현상에 미치는 영향을 분석하기 위해, Jellett, Lagrange 또는 영역 적분과 같은 첫 번째 적분의 보존 여부를 조사한다. 마찰력 모델이 수평 토크로 모델링될 경우 영역 적분이 보존되며, 이는 역전 현상이 발생하지 않음을 의미한다. 반면, Jellett 적분을 보존하는 특정 마찰 모델에서는 역전 현상이 가능하다.

ABSTRACT

In this paper, we analyze the effect which the choice of a friction model has on tippe top inversion in the case where the resulting action of all dissipative forces is described not only by the force applied at the contact point, but also by the additional rolling resistance torque. We show that, depending on the friction model used, the system admits different first integrals. In particular, we give examples of friction models where the Jellett integral, the Lagrange integral or the area integral is preserved. We examine in detail the case where the action of all dissipative forces reduces to the horizontal rolling resistance torque. For this case we find permanent rotations of the system and analyze their linear stability. Also, we show that for this friction model no inversion is observed.

연구 동기 및 목표

• 수평 평면 위에서 굴러가는 불균형한 축대칭 히프탑의 역학적 거동과 역전 행동에 영향을 미치는 마찰력 모델의 영향을 분석하기 위해.
• 다양한 마찰력 모델 하에서 보존되는 첫 번째 적분(Jellett, Lagrange, 영역)을 확인하기 위해.
• 수평 마찰력 토크 모델 하에서 영구 회전의 안정성을 조사하기 위해.
• 소산력 모델에 따라 히프탑의 역전 현상이 발생하거나 방지되는 조건을 명확히 하기 위해.
• 굴림 및 회전 마찰력이 존재할 경우 단계 흐름과 안착점의 정성적 및 정량적 분석을 제공하기 위해.

제안 방법

• 중력이 작용하는 비대칭 축대칭 히프탑이 수평 평면 위에서 소산력이 작용하는 조건에서 운동 방정식을 수립한다.
• 접촉력과 추가적인 토크를 포함하는 마찰력 토크 모델을 도입하며, 이는 표준 미끄럼 마찰 모델과 다름을 명시한다.
• 운동학적 관계와 고정된 기준 기준좌표계에서의 회전 역학을 사용하여, 자세 변화를 회전 행렬을 통해 추적한다.
• 마찰력 모델의 구조에 기반하여 첫 번째 적분(Jellett, Lagrange, 영역)을 식별하고, 그 보존 성질을 분석한다.
• 수평 마찰력 토크 모델 하에서 영구 회전 해법(위치 및 아래쪽 수직 회전)의 선형 안정성 분석을 수행한다.
• 시작 조건과 마찰 계수에 따라 변화하는 상황에서, $(K_1, C)$ 평면 상의 수치적 단면 흐름을 시각화하여 궤적의 진화와 안착점 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마찰력 모델의 선택이 히프탑 역학에서 첫 번째 적분의 존재성과 보존에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 어떤 마찰력 모델에서는 히프탑의 역전 현상이 관찰되고, 어떤 모델에서는 방지되는가?
• RQ3 마찰력이 수평 토크로 모델링될 경우, 영역 적분이 역전 현상의 부재를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 수평 마찰력 토크 모델 하에서 영구 회전(위치 및 아래쪽 수직)은 어떻게 행동하며, 그 안정성은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ5 작은 회전 마찰력을 추가했을 때, 장기적인 역학적 거동과 안착점 간의 전이에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 마찰력이 수평 토크로 모델링될 경우, 영역 적분 $ C $ 가 보존되며, 이에 따라 히프탑의 역전 현상은 발생하지 않는다.
• 수평 마찰력 토크 모델 하에서 안정적인 영구 회전 $ ho_0 $ 와 $ ho_l $ 이 존재하며, $ |C| > C^* $ 일 경우 $ ho_0 $ 가 안정하고, $ |C| < C^* $ 일 경우 $ ho_l $ 가 안정하다.
• 일반적으로 $ i_1 > i_3 $ 일 경우, $ |C| > C^* $ 일 때는 $ ho_0 $ 쪽으로 궤적이 수렴하고, $ |C| < C^* $ 일 때는 $ ho_l $ 쪽으로 수렴하므로, $ i_1 > i_3 $ 일 경우 역전 현상은 발생하지 않는다.
• 회전 마찰력이 존재할 경우($ u_s \neq 0 $), 영역 적분 $ C $ 는 더 이상 보존되지 않으며, $ |C| > C^* $ 일 경우 초기 단계에서 부분적인 역전 현상이 관찰된다.
• 단면 흐름 시각화 결과, $ C $ 가 시간에 따라 점진적으로 감소함에 따라 궤적이 $ ho_0 $ 에서 $ ho_l $ 로 이동하며, 최종적으로 아래쪽 평형 상태에서 멈춘다.
• 시스템은 명백한 역학적 영역을 보이며, 초기에는 $ ho_0 $ 쪽으로 끌려오고, 이후에는 $ ho_0 $ 를 따라 느리게 진화하며, $ |C| < C^* $ 가 되면 결국 $ ho_l $ 로 전이된다.