[논문 리뷰] The $L^p$ Carleman estimate and a partial data inverse problem

Francis J. Chung, Leo Tzou|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 06.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유계 영역에서 공액 라플라스 연산자에 대해 명시적인 그린 함수를 구축하여, $L^p$ 카를레만 추정을 가능하게 하고, $L^{n/2}$ 잠재력이 있는 슈뢰딩거 방정식에 대한 부분 데이터 역문제를 해결한다. 이 방법은 열 흐름을 이용하여 경계의 반쪽에 지지되는 딜리클레 그린 함수를 구성하며, 날카운 $L^p$ 및 $H^1$ 유계를 제공하고, 캘러드론 문제의 유일성 증명을 이끌어낸다.

ABSTRACT

We construct an explicit Green's function for the conjugated Laplacian $e^{-ω\cdot x/h}Δe^{-ω\cdot x/h}$, which let us control our solutions on roughly half of the boundary. We apply the Green's function to solve a partial data inverse problem for the Schrödinger equation with potential $q \in L^{n/2}$. We also use this Green's function to derive $L^p$ Carleman estimates similar to the ones in Kenig-Ruiz-Sogge \cite{krs}, but for functions with support up to part of the boundary.

연구 동기 및 목표

• 유계 영역 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ($n\geq 3$)에서 공액 라플라스 연산자 $e^{-x\cdot\omega/h}h^2\Delta e^{x\cdot\omega/h}$에 대해 명시적인 딜리클레 그린 함수를 구축한다.
• 경계 조건이 비자명한 함수, 특히 부분 집합 $\Gamma\subset\partial\Omega$ 에서 영이 되는 함수에 대해 $L^p$ 카를레만 추정을 유도한다.
• 구축된 그린 함수를 사용하여, 비유계 잠재력 $q\in L^{n/2}(\Omega)$ 를 가진 슈뢰딩거 방정식에 대한 부분 데이터 역문제를 해결한다.
• 소수의 매개변수 $h>0$ 에 대한 의존성을 포함한, 그린 함수의 $L^p$ 및 양자역학적 소볼레프 공간에서의 날카운 연산자 노름 유계를 확립한다.

제안 방법

• 열 흐름을 통한 그린 함수 $G_\Gamma$ 의 명시적 구성으로, $L^{p'}(\Omega)$ 에서 $e^{-x\cdot\omega/h}h^2\Delta e^{x\cdot\omega/h}G_\Gamma = I$ 를 만족시킨다.
• 양자역학적 미분연산자 해석학을 사용하여 $G_\Gamma$ 의 연산자 노름을 분석하며, $\|G_\Gamma\|_{L^2\to H^1}\leq Ch^{-1}$ 및 $\|G_\Gamma\|_{L^{p'}\to L^p}\leq Ch^{-2}$ 와 같은 유계를 포함한다.
• 그린 함수를 적용하여, $\Gamma^c\subset\partial\Omega$ 에서 영이 되고 $\partial_\nu u|_{\Gamma^c}=0$ 인 함수 $u$ 에 대해 $L^p$ 및 $L^2$ 카를레만 추정을 도출한다.
• 비유계 잠재력 $L^{n/2}(\Omega)$ 를 다루기 위해 방법을 적응시키며, 강한 유일 연속성 원리와 딜리클레 문제의 잘 정의됨을 활용한다.
• 혼합 소볼레프 노름에서의 미분연산자 조합 유계를 사용하여, 매개수 구성에서 나머지 항을 제어한다.
• 좌변에 $h^{-1/p}\|\partial_\nu u\|_{L^{p'}(\Gamma)}$ 를 포함하는 수정을 통해 $L^p$ 추정에서 경계항을 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계의 부분 집합에서 딜리클레 조건을 강제하는 공액 라플라스 연산자에 대해 명시적인 그린 함수를 구축할 수 있는가?
• RQ2 경계 조건이 비자명한 해에 대해, 특히 일부 경계만 관측되는 경우에 $L^p$ 카를레만 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ3 구축된 그린 함수가 $L^{n/2}$ 잠재력을 가진 부분 데이터 캘러드론 문제를 해결하는 데 도움이 되는가?
• RQ4 그린 함수의 $L^p$ 및 양자역학적 소볼레프 공간에서의 날카운 연산자 노름 유계는 무엇인가?
• RQ5 이 방법은 $L^p$ 카를레만 추정에 경계항을 포함할 수 있는가?

주요 결과

• 그린 함수 $G_\Gamma$ 는 $e^{-x\cdot\omega/h}h^2\Delta e^{x\cdot\omega/h}G_\Gamma = I$ 를 만족하며, $L^{p'}(\Omega)$ 에서 $L^p(\Omega)$ 로 사상하며, 연산자 노름 $\|G_\Gamma\|_{L^{p'}\to L^p}\leq Ch^{-2}$ 를 가진다.
• 그린 함수는 또한 $\|G_\Gamma\|_{L^2\to H^1}\leq Ch^{-1}$ 를 만족하여, 양자역학적 소볼레프 공간에서의 제어를 제공한다.
• 경계에서 영이 되고 $\partial_\nu u|_{\Gamma^c}=0$ 인 $u\in C^2(\overline{\Omega})$ 에 대해, 충분히 작은 $h>0$ 에 대해 카를레만 추정 $\|u\|_{L^p(\Omega)}\leq C\|\Delta_\phi^*u\|_{L^{p'}(\Omega)}$ 이 성립한다.
• 양자역학적 $L^2$ 카를레만 추정이 확립된다: $\|u\|_{L^2(\Omega)}\leq \frac{C}{h}\|h^2\Delta_\phi^*u\|_{H^{-1}_\Gamma(\Omega)}$.
• 슈뢰딩거 방정식의 부분 데이터 역문제가 해결된다: 만약 모든 $f\in C_0^\infty(\mathbf{B})$ 에 대해 $\Lambda_{q_1}f|\mathbf{F} = \Lambda_{q_2}f|\mathbf{F}$ 라면, $q_j\in L^{n/2}(\Omega)$ 이면 $q_1 = q_2$ 이다.
• 이 방법은 경계항을 포함한 $L^p$ 추정을 허용하며, 잘 정의됨과 유일 연속성에 대해 $q\in L^{n/2}$ 가 최적의 정규성 조건이다.