[논문 리뷰] The Lieb-Schultz-Mattis Theorem: A Topological Point of View

Hal Tasaki|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 13.

Quantum many-body systems인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 1차원 양자 스핀 체계에 대한 리브-슐츠-매티스(Lieb-Schultz-Mattis, LSM) 정리의 현대적 위상적 재구성법을 제공한다. U(1) 또는 이산 $Χ_2\timesΧ_2$ 대칭을 가진 시스템은 채움 인자(filling factor)가 정수가 아닐 경우 국소적으로 유일한 간섭 급격한 기본 상태를 가질 수 없다는 것을 증명한다. 이 결과는 위상적 불변량—특히 U(1) 대칭에 대한 채움 인자 지수와 이산 대칭에 대한 오가타 지수(Ogata index)—를 통해 확립되며, 대칭 보호 위상의 통합적이고 위상적으로 강건한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We review the Lieb-Schultz-Mattis theorem and its variants, which are no-go theorems that state that a quantum many-body system with certain conditions cannot have a locally-unique gapped ground state. We restrict ourselves to one-dimensional quantum spin systems and discuss both the generalized Lieb-Schultz-Mattis theorem for models with U(1) symmetry and the extended Lieb-Schultz-Mattis theorem for models with discrete symmetry. We also discuss the implication of the same arguments to systems on the infinite cylinder, both with the periodic boundary conditions and with the spiral boundary conditions. For models with U(1) symmetry, we here present a rearranged version of the original proof of Lieb, Schultz, and Mattis based on the twist operator. As the title suggests we take a modern topological point of view and prove the generalized Lieb-Schultz-Mattis theorem by making use of a topological index (which coincides with the filling factor). By a topological index, we mean an index that characterizes a locally-unique gapped ground state and is invariant under continuous (or smooth) modification of the ground state. For models with discrete symmetry, we describe the basic idea of the most general proof based on the topological index introduced in the context of symmetry-protected topological phases. We start from background materials such as the classification of projective representations of the symmetry group. We also review the notion that we call a locally-unique gapped ground state of a quantum spin system on an infinite lattice and present basic theorems. This notion turns out to be natural and useful from the physicists' point of view. We have tried to make the present article readable and almost self-contained. We only assume basic knowledge about quantum spin systems.

연구 동기 및 목표

• U(1) 대칭 스핀 체인에 대해 채움 인자를 기반으로 한 위상적 지수를 사용하여 일반화된 리브-슐츠-매티스 정리를 재유도한다.
• 이산 $Χ_2\timesΧ_2$ 대칭을 가진 시스템에 대해 오가타 지수—대칭 보호 위상 상태에서 유래한 위상적 불변량—를 사용하여 LSM 정리를 확장한다.
• 국소적으로 유일한 간섭 급격한 기본 상태 개념이 양자 다체 물리학에서 자연스럽고 유용한 개념임을 확립한다.
• LSM 유형 정리를 무한한 실린더와 나선형 경계 조건을 가진 시스템으로 일반화하여 기하학적 및 위상적 변화에 대한 강건성을 보여준다.
• 원래 변분 증명과 현대적 위상적 장 이론 및 지수 이론을 연결하는 자가 포함적이고 접근 가능한 리뷰를 제시한다.

제안 방법

• 틀어진 경계 조건을 가진 시험 상태의 에너지가 기본 상태 에너지에 가까운 것을 보이기 위해, 토글링 연산자(twist operator)를 사용하여 원래 LSM 증명을 재구성하고, 변분 에너지 추정을 유도한다.
• 채움 인자를 국소적으로 유일한 간섭 급격한 기본 상태를 특징짓는 위상적 불변량으로 도입하며, 해밀토니안의 연속적 변형에 대해 불변임을 보인다.
• 대칭군의 프로젝티브 표현에서 유도된 위상적 불변량인 오가타 지수를 도입하여 이산 대칭을 가진 간섭 급격한 위상의 분류에 응용한다.
• GNS 구성과 스펙트럼 간격 추정을 사용하여 기본 상태의 비퇴화성과 기본 상태 에너지 위에 간격이 존재함을 증명한다.
• 주기적 및 나선형 경계 조건을 가진 무한한 실린더 위의 시스템을 분석하여, 이러한 경계 조건에서도 위상적 장애물이 유지됨을 보였다.
• 스펙트럼 간격과 상태 순수성에 기반한 모순 추론을 통해 위상적 지수와 국소적으로 유일한 간섭 급격한 기본 상태의 부재 사이의 연결을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 U(1) 대칭 스핀 체인에 대한 일반화된 리브-슐츠-매티스 정리는 변분적 추론 대신 위상적 지수를 사용하여 재증명할 수 있는가?
• RQ2 이산 $Χ_2\timesΧ_2$ 대칭을 가진 시스템에서 국소적으로 유일한 간섭 급격한 기본 상태의 존재를 방해하는 위상적 불변량은 무엇인가?
• RQ3 주기적 및 나선형 경계 조건을 가진 무한한 실린더 위의 양자 스핀 체계에 대해 LSM 유형 정리는 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 채움 인자가 간섭 급격한 국소적으로 유일한 기본 상태의 존재를 결정하는 데 있어 위상적 지수로서의 역할은 무엇인가?
• RQ5 오가타 지수는 1차원 스핀 체계에서 대칭 보호 위상 상태의 분류와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 채움 인수는 단위 세포당 평균 스핀으로 정의되며, U(1) 대칭 시스템에서 국소적으로 유일한 간섭 급격한 기본 상태가 존재하려면 반드시 정수여야 한다는 위상적 지수로 작용한다.
• 이산 $Χ_2\timesΧ_2$ 대칭을 가진 시스템에서는, 국소적으로 유일한 간섭 급격한 기본 상태가 존재하기 위해 오가타 지수가 0이 되어야 한다. 이 지수는 그룹의 프로젝티브 표현에서 유도된다.
• 스핀 1/2 반자성체 헤이젠베르크 체인에 대한 원래 LSM 정리는 채움 인수가 $1/2$인 특수한 경우로 복구되며, 이는 정수가 아니므로 국소적으로 유일한 간섭 급격한 기본 상태의 존재를 금지한다.
• 틀어진 시험 상태 $| ilde{Ψ} angle = \hat{U}_{\rm twist}|Φ_{\rm GS}\rangle$의 에너지는 $E_{\rm GS} + \mathcal{O}(1/L)$ 이하로 유계이므로, 이 상태가 기본 상태와 거의 degenerate(퇴화)임을 보여준다.
• 무한한 실린더에서는 주기적 및 나선형 경계 조건 모두에서 LSM 유형 정리가 성립하여, 경계 조건 변화에 대해 위상적 장애물의 강건성을 보여준다.
• GNS 해밀토니안 $H_{\rm GNS}$는 에너지 0에 비퇴화된 기본 상태를 가지며, 최소 크기 $\gamma$의 스펙트럼 간격을 가진다. 이는 기본 상태가 순수하며, 간격 조건을 위반하지 않고도 간섭 급격한 비퇴화된 기본 상태를 가질 수 없음을 시사한다.