[论文解读] The logarithmic least squares optimality of the geometric mean of weight vectors calculated from all spanning trees for (in)complete pairwise comparison matrices

Sándor Bozóki, Vitaliy Tsyganok|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Multi-Criteria Decision Making参考文献 47被引用 4

一句话总结

该论文证明，无论成对比较矩阵是否完整，其所有生成树的权重向量的几何平均值，都是对数最小二乘问题的最优解。该方法利用生成树避免了对先验度量结构的假设，并证明在所有此类矩阵中，几何平均值是唯一最小化解对数最小二乘误差的解。

ABSTRACT

Pairwise comparison matrices, a method for preference modelling and quantification in multi-attribute decision making and ranking problems, are naturally extended to the incomplete case, offering a wider range of applicability. The weighting problem is to find a weight vector that reflects the decision maker's preferences as well as possible. The logarithmic least squares problem has a unique and simply computable solution. The spanning tree approach does not assume any metric in advance, instead it goes through all minimal sufficient subsets (spanning trees) of the set of pairwise comparisons, then the weight vectors are aggregated. It is shown that the geometric mean of weight vectors, calculated from all spanning trees, is the optimal solution of the well known logarithmic least squares problem, not only for complete, as it was recently proved by Lundy, Siraj and Greco, but for incomplete pairwise comparison matrices as well.

研究动机与目标

• 解决成对比较矩阵中的权重分配问题，其中决策者通过成对比较表达偏好。
• 将对数最小二乘法的适用范围扩展至现实决策中常见的不完整矩阵。
• 证明所有生成树的权重向量的几何平均值，在对数最小二乘准则下，提供了最优解。
• 统一基于生成树的权重分配方法与广为人知的对数最小二乘法的理论基础，证明在完整与不完整情况下二者等价。

提出的方法

• 该方法从成对比较矩阵的图表示中构建所有生成树，其中节点代表备选项，边代表成对比较。
• 对每个生成树，使用对数最小二乘法计算权重向量，以确保树结构内的内部一致性。
• 最终的权重向量通过所有来自生成树的独立权重向量的几何平均值得到。
• 该方法无需预设度量结构，而是依赖于最小充分子集（即生成树）的组合枚举。
• 理论分析证明，该几何平均向量在所有可能的权重向量中，最小化对数最小二乘误差函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有生成树的权重向量的几何平均值，是否能最优地解决不完整成对比较矩阵的对数最小二乘问题？
• RQ2 该生成树方法能否在不完整矩阵上扩展，同时在对数最小二乘准则下保持最优性？
• RQ3 在不完整矩阵的背景下，几何平均向量是否是对数最小二乘误差的唯一最小化解？
• RQ4 与其它权重分配方法相比，该生成树方法在理论最优性与计算可行性方面表现如何？

主要发现

• 无论成对比较矩阵是否完整，所有生成树权重向量的几何平均值，都是最小化对数最小二乘误差的唯一解。
• 该方法在不假设先验度量结构的前提下实现最优性，仅依赖于生成树的组合性质。
• 该结果扩展了先前研究——此前仅在完整矩阵中证明——现将相同最优性推广至不完整矩阵。
• 生成树方法为偏好建模中的传统权重分配方法提供了一种理论坚实且计算可行的替代方案。