[논문 리뷰] The Lorentz Boost-Link Is Not Unique. Relative velocity as a morphism in a connected groupoid category of null objects

Zbigniew Oziewicz|ArXiv.org|2006. 08. 30.

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한 줄 요약

이 논문은 특수상대성에서 관성좌표계를 연결하는 데 쓰이는 로렌츠 보정-링크가 크기가 같은 두 벡터만으로는 유일하게 결정되지 않으며, 오히려 제3의 특수한 벡터(선호되는 관측자)가 필요하다고 주장한다. 저자들은 질량을 가진 물체들의 연결된 군oids 카테고리 구조를 제안하여 상대속도가 고유한 사상이 되도록 하며, 이는 비유일적인 등거리 로렌츠 변환을 대체함으로써 로렌츠 공변성을 기본으로 삼지 않는 새로운 운동학을 정의한다.

ABSTRACT

The isometry-link problem is to determine all isometry transformations among given pair of vectors with the condition that if these initial and final vectors coincide, the transformation-link must be identity on entire vector space. In the first part of this essay we provide the complete solution for the link problem for arbitrary isometry, for any dimension and arbitrary signature of the invertible metric tensor. We apply these considerations for pure Lorentz transformations, for the Lorentz boost, parameterized by relative velocity, and we are showing that the isometric pure Lorentz transformation-link is not given uniquely by the initial and final vectors. Lorentz's boost needs a choice of the preferred time-like observer. This leads to non-uniqueness of the relative velocity among two reference systems, that was apparently not intention of Einstein in 1905. Presently, as during the XX century, the Lorentz covariance is the cornerstone of physical theory. Our main conclusion is: observer-dependence (and -independence), and the Lorentz--covariance (and invariance), are different concepts. In order to have axiomatically the unique relative velocity among pair of massive bodies, we propose a connected groupoid category of massive bodies in mutual motions

연구 동기 및 목표

• 크기가 같은 두 벡터 사이의 로렌츠 보정 변환의 비유일성을 해결하기 위해.
• 기존에 전통적으로 가정된 바와 같이 관측자가 독립적이지 않은 방식으로 로렌츠 공변성이 상대성 이론의 기본 역할을 하지 못함을 입증하여 그 기초적 역할을 도전하기 위해.
• 상대속도가 질량을 가진 물체들의 연결된 군oids 카테고리에서 고유한 사상으로 정의되는 새로운 프레임워크를 제안하기 위해.
• 표준적인 등거리 로렌츠 보정이 본질적으로 비유일적이며, 제3의 기준이 되는 관측자(세 번째 벡터)가 필요함을 보여주어 아인슈타인의 1905년 관측자 독립성 원칙과 모순됨을 입증하기 위해.
• 로렌츠 군을 기초 대칭으로 사용하는 대신 군oids 카테고리와 프로베누스 대수를 사용하여 운동학을 재구성하고, 비결합적인 프뢰리처-리히터슨 대수를 사용하여 역학을 재구성하기 위해.

제안 방법

• 임의의 차원과 계량 부호수에서 등거리-링크 문제를 수학적으로 정의하고, 순수한 등거리 변환(보정)이 초기 및 최종 벡터만으로는 고유하게 결정되지 않음을 증명한다.
• 초기, 최종, 그리고 선호되는 세 벡터의 조합을 도입하여 순수한 등거리 변환을 고유하게 정의하며, 이 세 벡터가 모두 한 평면 위에 있을 때에만 고유성이 보장됨을 보인다.
• 이 프레임워크를 로렌츠 보정에 적용하여, 상대속도가 선호되는 시간적 관측자가 명시되지 않은 채로는 고유하게 정의될 수 없음을 보여준다.
• 각 사상이 고유한 속도-사상이 되는 질량을 가진 물체들의 연결된 군oids 카테고리 구조를 구성하여, 비유일적인 등거리 보정 변환을 대체한다.
• 범주론을 사용하여 상대적 공간과 시간을 파생 개념으로 정의하고, 질량을 가진 물체를 기본 개념으로 삼는다.
• 관측자들의 연산자 대수 Obs(ϖ)가 임의의 n체 시스템에서 프로베누스 대수를 이룬다고 제안하여 상대성 이론의 새로운 대수적 기반을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 계량 부호수를 가진 공간에서 크기가 같은 두 벡터 사이에 존재하는 순수한 등거리 변환(보정)은 몇 개인가?
• RQ2 표준적인 로렌츠 보정-링크가 왜 유일하지 않은가? 이를 고유하게 만들기 위해 추가로 어떤 구조가 필요한가?
• RQ3 질량을 가진 물체들의 카테고리에서 상대속도가 비유일적인 등거리 변환에 의존하지 않고 고유한 사상으로 정의될 수 있는가?
• RQ4 선호되는 기준 프레임의 역할은 무엇이며, 이는 상대성 원리에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 로렌츠 군을 기초 대칭으로 사용하는 대신 군oids 카테고리와 프로베누스 대수를 사용하여 상대성의 운동학을 어떻게 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• 로렌츠 보정-링크는 초기 및 최종 벡터만으로는 고유하게 결정되지 않으며, 고유한 순수 등거리 변환을 정의하기 위해 제3의 특수한 벡터가 필요하다.
• 비공면인 시스템에서는 크기가 같은 두 벡터 사이에 무한히 많은 등거리 보정 해가 존재한다.
• 두 관성좌표계 사이의 상대속도는 선호되는 시간적 관측자를 명시하지 않으면 고유하게 정의될 수 없으며, 아인슈타인의 1905년 관측자 독립성 가정과 모순된다.
• 논문은 상대속도를 질량을 가진 물체들의 연결된 군oids 카테고리에서 고유한 사상으로 간주해야 하며, 이는 비유일적인 등거리 로렌츠 변환을 대체해야 한다고 제안한다.
• 이 새로운 프레임워크의 운동학은 관측자 대수 Obs(ϖ) 위에 존재하는 프로베누스 대수의 구조로 규정되며, 상대성 이론의 더 깊은 대수적 기반을 시사한다.
• 저자들은 로렌츠 공변성이 중요성이 줄어들 것이라 주장하며, 관측자 독립성과 로렌츠 불변성은 서로 다른 개념이며, 상대성 이론에서 기본 개념이 되어야 할 것은 질량을 가진 물체이며, 질량이 없는 장이 아니라야 한다.