[논문 리뷰] The McKay correspondence via Floer theory

Mark McLean, Alexander F. Ritter|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 05.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 30인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 풀린 특이점에 대해 플로어 이론을 사용하여 일반화된 매크레이 상호관계를 수립한다. 이를 통해 양의 심플렉틱 코homology SH₊(Y)의 랭크가 유한부분군 G ⊂ SL(n, ℂ)의 공轭류의 수와 같고, 공轭류에 대한 에이지 그레ading이 SH₊(Y)의 콘리-제이너드 지표 그레ading과 일치함을 보였다. 전체 심플렉틱 코homology의 소멸을 통해 SH₊(Y)와 일반 코homology H(Y) 사이의 동형이 확인됨으로써 일반화된 매크레이 상호관계가 확인된다.

ABSTRACT

We prove the generalised McKay correspondence for isolated singularities using Floer theory. Given an isolated singularity \C^n/G for a finite subgroup G in SL(n,\C) and any crepant resolution Y, we prove that the rank of positive symplectic cohomology SH_+(Y) is the number of conjugacy classes of G, and that twice the age grading on conjugacy classes is the \Z-grading on SH_+(Y) by the Conley-Zehnder index. The generalised McKay correspondence follows as SH_+(Y) is naturally isomorphic to ordinary cohomology H(Y), due to a vanishing result for full symplectic cohomology. In the Appendix we construct a novel filtration on the symplectic chain complex for any non-exact convex symplectic manifold, which yields both a Morse-Bott spectral sequence and a construction of positive symplectic cohomology.

연구 동기 및 목표

• 고립된 특이점에 대해 심플렉틱 토폴로지 방법을 사용하여 일반화된 매크레이 상호관계를 수립하는 것.
• 크렙랑 해소 Y에서의 양의 심플렉틱 코homology SH₊(Y)의 구조를 유한부분군 G ⊂ SL(n, ℂ)의 공轭류와 연결하는 것.
• SH₊(Y)의 콘리-제이너드 지표 그레ading이 공轭류에 대한 에이지 그레ading과 정확히 일치하는지 보여주는 것.
• 전체 심플렉틱 코homology의 소멸 결과를 통해 SH₊(Y)가 일반 코homology H(Y)와 자연스럽게 동형임을 보이는 것.
• 비정확한 볼록 심플렉틱 다양체에 대해 새로운 필터링을 정의하여 모어스-보트 스펙트럴 시퀀스와 양의 심플렉틱 코homology를 동시에 구성하는 것.

제안 방법

• 크렙랑 해소 Y의 심플렉틱 토폴로지 분석을 위해 플로어 이론을 적용한다.
• 콘리-제이너드 지표를 사용하여 심플렉틱 코hom로의 해를 위한 ℤ-그레ading을 정의한다.
• 심플렉틱 불변량을 통해 G의 공轭류에 대한 에이지 그레ading과 콘리-제이너드 지표 그레ading 간의 대응을 수립한다.
• 전체 심플렉틱 코homology의 소멸 결과를 활용하여 SH₊(Y) ≅ H(Y)를 유도함으로써 심플렉틱과 대수적 토폴로지를 연결한다.
• 비정확한 볼록 심플렉틱 다양체에 대해 심플렉틱 체인 복합체에 새로운 필터링을 도입하여 SH₊(Y)를 구성하고 모어스-보트 스펙트럴 시퀀스를 유도한다.
• 스펙트럴 시퀀스를 활용하여 SH₊(Y)의 구조를 분석하고 G의 군론적 자료와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 algebraic geometry 가 아닌 symplectic Floer theory 를 사용하여 일반화된 매크레이 상호관계를 증명할 수 있는가?
• RQ2 SH₊(Y)의 콘리-제이너드 지표 그레ading과 G의 공轭류에 대한 에이지 그레ading 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 왜 양의 심플렉틱 코homology SH₊(Y)의 랭크가 G의 공轭류의 수와 같게 되는가?
• RQ4 전체 심플렉틱 코homology의 소멸이 왜 SH₊(Y) ≅ H(Y)를 유도하는가?
• RQ5 심플렉틱 체인 복합체에 대한 새로운 필터링이 동시에 모어스-보트 스펙트럴 시퀀스와 SH₊(Y)의 구성에 기여할 수 있는가?

주요 결과

• 양의 심플렉틱 코homology SH₊(Y)의 랭크는 G의 공轭류의 수와 같다.
• SH₊(Y)의 콘리-제이너드 지표 그레ading은 G의 공轭류에 대한 에이지 그레ading의 정확히 두 배와 일치한다.
• 전체 심플렉틱 코homology의 소멸으로 인해 SH₊(Y)는 일반 코homology H(Y)와 자연스럽게 동형이다.
• 심플렉틱 체인 복합체에 대한 새로운 필터링은 모어스-보트 스펙트럴 시퀀스를 생성하고 동시에 SH₊(Y)의 구성에 기여한다.
• SH₊(Y) ≅ H(Y)의 동형은 심플렉틱 설정에서의 일반화된 매크레이 상호관계를 확인한다.
• 이 대응은 G ⊂ SL(n, ℂ)인 유한부분군에 대해 임의의 크렙랑 해소 Y에 대해 성립한다.