[논문 리뷰] The Morse-Novikov theory of circle-valued functions and noncommutative localization

Michael Färber, Andrew Ranicki|ArXiv.org|1998. 12. 21.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 2인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 비가환 국소화 환 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 위에서 라이노프 복합체를 일반화한 유리수 계수의 합성 복합체를 구성한다. 비가환 국소화를 사용하여 라이노프 완비화에서 발생하는 특이점을 해결함으로써, 비아벨 기본군에 대해 일반화된 라이노프 부등식을 얻고, 동치류 내에서 임의의 기본군을 가진 다양체에서의 임의의 원형 값의 모르스 함수에 대해 임의의 임계점의 최소 수에 대한 새로운 위상수학적 하한을 도출한다.

ABSTRACT

We use noncommutative localization to construct a chain complex which counts the critical points of a circle-valued Morse function on a manifold, generalizing the Novikov complex. As a consequence we obtain new topological lower bounds on the minimum number of critical points of a circle-valued Morse function within a homotopy class, generalizing the Novikov inequalities.

연구 동기 및 목표

• 비아벨 기본군을 초월하여 라이노프 복합체의 구성 방식을 비가환 국소화를 사용해 확장하는 것.
• 국소화 환 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 위에서 라이노프 복합체의 유리수 상승을 제공하는 것.
• 주어진 동치류 내에서 원형 값의 모저스 함수의 최소 임계점 수에 대한 새로운 위상수학적 하한을 설정하는 것.
• 국소화 환 내의 대수적 불변량을 통해 비아벨 기본군에 대해 라이노프 부등식을 일반화하는 것.

제안 방법

• 정칙 값 $x \in S^1$ 에 대한 preimage $f^{-1}(x)$ 에 따라 다양체 $M$ 을 잘라 기초 도메인 $M_N$ 을 구성함으로써 코바디즘 $(M_N; N, zN)$ 을 얻는다.
• 기본 군 $\pi$ 에 대한 기반을 가진 유한 생성 자유 $\mathbb{Z}[\pi]$-모듈로 복합체인 상대 세포 복합체 $C(\widetilde{M}_N, \widetilde{N})$ 를 사용하며, 그 랭크는 $c_i(f)$ 와 같다.
• 유일한 코일 복합체 $C(\widetilde{M})$ 을 $\mathcal{C}(g - zh)$ 로 정의한다. 여기서 $g$ 와 $h$ 는 포함 사상 $N \to M_N$ 과 $zN \to M_N$ 에 의해 유도된다.
• 환 $\mathbb{Z}[\pi_1(M)] = \mathbb{Z}[\pi]_\alpha[z, z^{-1}]$ 에 대해 $\Sigma$ 에서의 행렬들인 $1 - ze$ (여기서 $e$ 는 $\mathbb{Z}[\pi]$ 위의 행렬) 의 형태를 가진 행렬들의 집합에 대해 비가환 국소화를 적용하여 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 을 얻는다.
• 국소화의 보편 성질을 사용하여 복합체를 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$-모듈로로 올리며, 미분이 유리수임을 보장한다.
• 호모토피 이론적 구성(보조정리 2.3)을 적용하여, 유리수 미분을 가지며 라이노프 복합체와 동일한 호모로지를 가지는 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 위의 복합체 $\widehat{C}(M,f)$ 를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 기본군을 가진 경우, 원형 값의 모저스 함수에 대해 라이노프 복합체를 비가환 국소화 환 위의 유리수 복합체로 올릴 수 있는가?
• RQ2 주어진 동치류 내에서 원형 값의 모저스 함수의 최소 임계점 수는 얼마이며, 이를 대수적으로 어떻게 제한할 수 있는가?
• RQ3 기본군이 비아벨이고 모노드로미 변환자가 비자명할 경우, 라이노프 수치는 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 비가환 국소화를 사용하여 라이노프 완비화에서 발생하는 특이점을 피하는 라이노프 복합체의 유리수 형태를 구성할 수 있는가?
• RQ5 국소화된 복합체 $\widehat{C}(M,f)$ 와 무한 순환 코어 $\overline{M}$ 의 호모토피 유형 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 저자들은 비가환 국소화 환 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 위에서 기반을 가진 유한 생성 자유 복합체 $\widehat{C}(M,f)$ 를 구성하였으며, 이는 라이노프 복합체를 일반화한다.
• $\widehat{C}(M,f)$ 는 유리수 미분을 가지며, 이는 국소화 사상의 이미지에 속하는 행렬의 성분을 의미한다.
• $\widehat{C}(M,f)$ 의 호모로지는 라이노프 호모로지와 동형이며, 원래 함수의 위상수학적 정보를 유지한다.
• 인덱스 $i$ 를 가진 임계점의 수 $c_i(f)$ 는 국소화 환 위에서 자유 해석의 최소 생성수인 $\mu_i(M; \Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)])$ 에 의해 아래에서 유계된다.
• 라이노프 부등식이 일반화된다: $c_i(f) \geq b_i(\xi) + q_i(\xi) + q_{i-1}(\xi)$, 여기서 $\xi = f^*(1) \in H^1(M)$ 이며, 이제 임의의 $\pi_1(M)$ 에 대해 유효하다.
• 이 구성은 $\pi_1(M)$ 이 아벨이든 아니든, 모노드로미 $\alpha$ 가 자명하든 말든, 원형 값의 모저스 함수를 가진 임의의 다양체 $M$ 에 대해 유효하다.