[논문 리뷰] The multiset dimension of graphs

Rinovia Simanjuntak, Siagian, Presli외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 01.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 2인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 거리의 멀티세트를 기반으로 정점들을 구별하는 메트릭 차원의 새로운 변형인 그래프의 멀티세트 차원을 도입한다. 여기서 정점들은 해소 집합으로부터의 거리의 순서쌍이 아니라 멀티세트로 구별된다. 주요 기여는 비경로 그래프의 멀티세트 차원이 최소 3임을 증명하고, 이 최소값을 달성하는 두 개의 무한한 그래프 가족—$n \geq 6$인 순환 그래프 $C_n$과 $m \geq 3, n \geq 2$인 격자 그래프 $P_m \square P_n$—을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We introduce a variation of metric dimension, called the multiset dimension. The representation multiset of a vertex $v$ with respect to $W$ (which is a subset of the vertex set of a graph $G$), $r_m (v|W)$, is defined as a multiset of distances between $v$ and the vertices in $W$. If $r_m (u |W) eq r_m(v|W)$ for every pair of distinct vertices $u$ and $v$, then $W$ is called an m-resolving set of $G$. If $G$ has an m-resolving set, then the cardinality of a smallest m-resolving set is called the multiset dimension of $G$, denoted by $md(G)$. If $G$ does not contain an m-resolving set, we write $md(G) = \infty$. In this paper we present basic results on the multiset dimension. We obtain some (sharp) bounds for multiset dimension of arbitrary graphs in term of its metric dimension, order, or diameter. We provide some necessary conditions for a graph to have finite multiset dimension, with an example of an infinite family of graphs where those necessary conditions are also sufficient. We also show that the multiset dimension of any graph other than a path is at least $3$ and finally we provide two families of graphs having the multiset dimension $3$.

연구 동기 및 목표

• 정점에서 해소 집합으로의 거리의 멀티세트를 기반으로 하는 새로운 그래프 불변량인 멀티세트 차원을 체계화하고 조사하는 것.
• 그래프가 유한한 멀티세트 차원을 가질 수 있는 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 메트릭 차원, 순서, 지름에 관해 멀티세트 차원의 날카로운 경계를 설정하는 것.
• 특히 순환 그래프와 격자 그래프에 초점을 맞춰 멀티세트 차원이 3인 그래프를 특성화하는 것.
• 유한한 멀티세트 해소 집합의 존재에 영향을 미치는 구조적 및 대칭 제약 조건을 탐색하는 것.

제안 방법

• 정점 $v$에 대한 표현 멀티세트 $r_m(v|W)$를 정점 $v$에서 부분집합 $W \subseteq V(G)$에 포함된 모든 정점으로의 거리의 멀티세트로 정의한다.
• 모든 서로 다른 $u,v \in V(G)$에 대해 $r_m(u|W) \neq r_m(v|W)$인 조건을 만족하는 $W$를 m-해소 집합으로 정의하며, 이는 멀티세트를 통한 유일한 식별을 보장한다.
• 이러한 m-해소 집합의 최소 크기를 멀티세트 차원 $md(G)$로 정의하며, 그러한 집합이 존재하지 않으면 $md(G) = \infty$로 간주한다.
• 특히 경로, 순환, 격자 그래프의 구조적 분석과 함께, 경우에 따라 거리 멀티세트를 나열하여 m-해소 집합의 존재를 확인한다.
• 대칭성과 자기동형사상 성질을 적용하여, 예를 들어 완전 그래프나 작은 대칭 그래프와 같은 일부 그래프가 유한한 멀티세트 차원을 가질 수 없음을 보여준다.
• 기존의 메트릭 차원 이론을 활용하여 이를 멀티세트 설정으로 확장하고, $md(G) \geq \dim(G)$를 증명하며, 등호가 성립하는 조건을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프가 유한한 멀티세트 차원을 가질 수 있는 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 멀티세트 차원은 그래프의 고전적 메트릭 차원, 순서, 지름과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 비경로 그래프의 최소 가능한 멀티세트 차원은 무엇이며, 어떤 그래프들이 이 최소값을 달성하는가?
• RQ4 순환 그래프와 격자 그래프와 같은 특정 가족의 그래프 중 멀티세트 차원이 정확히 3인 그래프는 무엇인가?
• RQ5 특정 그래프 계열, 예를 들어 트리나 카일리 그래프에 대해 멀티세트 차원을 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 그래프 $G$의 멀티세트 차원은 최소한 메트릭 차원과 같으며, 즉 $md(G) \geq \dim(G)$이다. 일부 그래프에서는 등호가 성립할 수 있다.
• 경로 그래프 $P_n$의 멀티세트 차원은 1이며, 멀티세트 차원이 1인 유일한 그래프이다.
• 모든 비경로 그래프에 대해 멀티세트 차원은 최소 3이며, 이는 날카로운 하한을 제공한다.
• $n \geq 6$인 순환 그래프 $C_n$은 정확히 3의 멀티세트 차원을 가지며, 크기가 3인 m-해소 집합의 명시적 구성으로 이를 입증하였다.
• $m \geq 3, n \geq 2$인 격자 그래프 $P_m \square P_n$은 정확히 3의 멀티세트 차원을 가지며, 명시적 m-해소 집합 $W = \{v_{1,1}, v_{1,2}, v_{3,1}\}$이 존재한다.
• 유한한 멀티세트 차원을 가질 수 있는 조건이 동시에 충분한 무한한 그래프 가족이 존재한다. 예를 들어 특정 트리 가족과 대칭 그래프 가족이 이에 포함된다.