[논문 리뷰] The Multivariate Hawkes Process in High Dimensions: Beyond Mutual Excitation

Shizhe Chen, Ali Shojaie외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 16.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 66인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 상호 자극 작용과 선형 연결 함수를 초월하는 고차원 다변량 Hawkes 과정에 대한 새로운 분석 프레임워크를 제안한다. 얇은 과정(Thinning process) 표현과 커플링 구축을 활용하여 저자들은 이차 통계량에 대한 농도 부등식을 유도함으로써, 억제성 및 비선형 역동성 조건 하에서도 교차공분산 추정기의 엄밀한 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The Hawkes process is a class of point processes whose future depends on their own history. Previous theoretical work on the Hawkes process is limited to a special case in which a past event can only increase the occurrence of future events, and the link function is linear. However, in neuronal networks and other real-world applications, inhibitory relationships may be present, and the link function may be non-linear. In this paper, we develop a new approach for investigating the properties of the Hawkes process without the restriction to mutual excitation or linear link functions. To this end, we employ a thinning process representation and a coupling construction to bound the dependence coefficient of the Hawkes process. Using recent developments on weakly dependent sequences, we establish a concentration inequality for second-order statistics of the Hawkes process. We apply this concentration inequality to cross-covariance analysis in the high-dimensional regime, and we verify the theoretical claims with simulation studies.

연구 동기 및 목표

• 상호 자극 작용과 선형 연결 함수에 국한된 Hawkes 과정 분석의 이론적 격차를 메우기 위해.
• 억제성 상호작용과 비선형 반응 함수를 갖는 Hawkes 과정의 이론적 분석을 가능하게 하기 위해.
• 고차원 다변량 Hawkes 과정에서 이차 통계량을 연구하기 위한 일반 목적의 도구를 개발하기 위해.
• 약한 의존성 가정 하에 교차공분산 추정기의 농도 부등식을 수립하기 위해.
• 고차원 환경에서 교차공분산 함수의 스무딩 추정기의 이론적 보장을 제공하기 위해.

제안 방법

• 클러스터 과정 구축에 의존하지 않는 얇은 과정 표현을 사용하여 Hawkes 과정을 모델링하기 위해.
• Hawkes 과정의 의존성 계수를 유계로 둘 수 있는 커플링 과정을 구축하기 위해.
• 최근의 약한 의존성 수열 이론을 적용하여 이차 통계량에 대한 농도 부등식을 도출하기 위해.
• 핵심 스무딩을 사용하여 Hawkes 과정의 교차공분산 함수를 추정하기 위해.
• 유계 구간에서 균일 수렴을 확보하기 위해 이산화된 격자 위에서 유니온 바ounds를 적용하기 위해.
• 편향과 분산을 균형 잡기 위해 대역폭 $ h $ 를 최적화하여 수렴 속도를 $ T^{-\frac{r+0.5}{5r+2}} $ 로 도달하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상호 자극 작용과 선형 연결 함수 가정을 초월하여 Hawkes 과정의 이차 통계량에 대한 이론적 보장을 수립할 수 있는가?
• RQ2 억제성 효과가 존재할 경우 다변량 Hawkes 과정의 의존성 구조는 어떻게 유계로 둘 수 있는가?
• RQ3 고차원 환경에서 교차공분산 함수의 스무딩 추정기의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 비선형 및 억제성 역동성 조건 하에서 Hawkes 과정에 대한 농도 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 비선형성과 억제성 상호작용에 대한 강건성 측면에서 기존 방법과 비교해 어떻게 다른가?

주요 결과

• 상호 자극 작용이나 선형 연결 함수를 요구하지 않는 Hawkes 과정의 이차 통계량에 대한 새로운 농도 부등식이 수립되었다.
• 교차공분산 함수의 스무딩 추정기의 수렴 속도는 $ \mathcal{O}(T^{-\frac{r+0.5}{5r+2}}) $ 이며, $ r \geq 1 $ 이다.
• 구간 $ [-B, B] $ 에서 추정된 교차공분산 함수의 균일 오차 유계는 고확률적으로 $ \mathcal{O}(T^{-\frac{r+0.5}{5r+2}}) $ 이다.
• 모든 $ p \times p $ 교차공분산 쌍에 대해 고확률적인 균일 수렴이 달성되었으며, 확률 유계는 $ T^{r/(5r+2)} $ 에 대해 지수적으로 감소한다.
• 반례를 통해 표준 안정성 가정이 실패하더라도 과정이 여전히 안정됨을 보여주며, 이론적 프레임워크가 억제성 효과에 강건함을 입증하였다.
• 수치 실험을 통해 이론적 수렴 속도가 확인되었으며, 고차원 환경에서 추정기의 성능이 검증되었다.