[논문 리뷰] The new $ u$-metric induces the classical gap topology

Amol Sasane|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 02.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소 Borel 측도의 라플라스 변환으로 구성된 링 𝒜₊ 위에서의 불안정한 단일입력단일출력(SISO) 식물에 대해 새로 정의된 ν-거리가 고전적 갭 거리와 동일한 위상을 유도한다는 것을 입증한다. 핵심 결과는 ν-거리와 갭 거리가 안정화 가능한 식물의 집합 𝕊(𝒜₊)에서 위상적으로 동치임을 증명하며, 이는 Vinnicombe의 고전적 결과를 유리 함수에서 무한차원 시스템으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $\\calA_+$ denote the set of Laplace transforms of complex Borel measures $\\mu$ on $[0,+\\infty)$ such that $\\mu$ does not have a singular non-atomic part. In \\cite{BalSas}, an extension of the classical $\ u$-metric of Vinnicombe was given, which allowed one to address robust stabilization problems for unstable plants over $\\calA_+$. In this article, we show that this new $\ u$-metric gives a topology on unstable plants which coincides with the classical gap topology for unstable plants over $\\calA_+$ with a single input and a single output.

연구 동기 및 목표

• 𝒜₊ 위의 불안정한 식물에 대해 새로 정의된 ν-거리가 고전적 갭 거리와 동일한 위상을 유도하는지 여부를 규명하는 것.
• 원래 유리 함수에 대해 유효한 Vinnicombe의 고전적 결과를 라플라스 변환의 복소 Borel 측도로 기술되는 무한차원 시스템으로 확장하는 것.
• 단일입력단일출력 불안정 식물의 공간 𝕊(𝒜₊)에서 ν-거리와 갭 거리 간의 위상적 동치성을 확립하는 것.
• 결과를 다중입력다중출력(MIMO) 시스템으로 확장하는 데 실패하는 기술적 장애 요소를 규명하는 것.
• Georgiou의 갭 거리 공식과 유사한 형태로 ν-거리의 다른 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• 바나흐 대수 설정에서 행렬 차이의 초월 노름을 사용하여, 𝕊(𝒜₊)에서 쌍대 인수분해를 이용해 ν-거리를 정의한다.
• 회전 수가 0인 𝒜 내의 가역 원소에 대한 최소값을 이용해 ν-거리의 다른 표현(정리 3.6)을 유도한다.
• 식물의 그래프 위로의 투영을 통해 𝕊(𝒜₊)에서 갭 거리를 정의하고, 토플리츠 연산자와 회전 수를 포함한 다른 표현(정리 4.9)을 제시한다.
• 이중 부등식 d₉(p₁,p₂) ≤ dₙu(p₁,p₂) ≤ d₉(p₁,p₂)/μ_opt(p₁)을 확립하며, 여기서 μ_opt(p₁)는 안정화 제어기 c에 대한 μₚ₁,𝒸의 최대값이다.
• 𝒜 내의 가역 원소 성질과 W(q) = (0,0) 조건을 이용해 ν-거리의 최소값을 안정적이고 가역적인 원소로 제한한다.
• ‖K₀‖ ≤ 1 이며 μₚ₁,𝒸와 토플리츠 연산자의 역행렬 간의 관계를 활용하여 갭 거리를 ν-거리로 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 𝕊(𝒜₊) 위의 새로운 ν-거리가 고전적 갭 거리와 동일한 위상을 유도하는가?
• RQ2 기존에 유리 함수의 경우에만 알려진 ν-거리와 갭 거리 간의 위상적 동치성이 𝒜₊ 위의 무한차원 시스템으로 확장 가능한가?
• RQ3 불안정한 식물의 ν-거리 정의에서 회전 수와 가역성 조건이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 왜 증명이 다중입력다중출력 시스템으로 확장되지 않는가?
• RQ5 불안정한 MIMO 시스템으로의 확장을 가능하게 할, 정리 4.8의 행렬 해석이 존재하는가?

주요 결과

• 정리 1.1에 의해, ν-거리와 갭 거리는 𝒜₊ 위의 단일입력단일출력 불안정 식물 집합에서 동일한 위상을 유도한다.
• 모든 p₁,p₂ ∈ 𝕊(𝒜₊)에 대해 부등식 d₉(p₁,p₂) ≤ dₙu(p₁,p₂) ≤ d₉(p₁,p₂)/μ_opt(p₁)가 성립하며, 이는 위상적 동치성을 확립한다.
• ν-거리는 dₙu(p₁,p₂) = inf{‖G₁ - G₂q‖_∞ : q ∈ inv(𝒜), W(q) = (0,0)} 로 표현되어 계산 가능한 형태를 갖는다.
• 갭 거리는 회전 수와 토플리츠 연산자를 포함한 다른 표현을 갖으며, ν-거리와의 비교를 가능하게 한다.
• 증명은 dₙu(p₁,p₂) < μₚ₁,𝒸₀ 를 만족하는 안정화 제어기 c₀의 존재에 기반하며, 갭 거리를 유계화하기 위한 적절한 q₀를 구성하는 데 이용된다.
• MIMO 시스템으로의 결과 확장에 있어 주요 장애 요소는 정리 4.8의 행렬 해석이 부족하기 때문이며, 이는 부등식 체인의 핵심 요소이기 때문이다.