[논문 리뷰] The Nielsen and the Reidemeister numbers of maps on infra-solvmanifolds of type (R)

Alexander Fel’shtyn, Jong Bum Lee|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 (R) 유형의 인프라-솔브만이드에서 노이만 및 라이드마이스터 제타 함수의 합리성, 함수 방정식, 그리고 유한 수렴 반경을 확립한다. 유한성 조건 하에서 두 제타 함수에 대한 가우스 합동식을 증명하고, 이를 맵핑 토러스의 라이드마이스터 토르션과 연결하며, 비-인프라-닐만이드인 인프라-솔브만이드에서는 라이드마이스터 제타 함수가 정의되지 않음을 보여준다. 주요 기여는 노이만만이드를 초월하는 더 넓은 클래스의 솔브만이드로 제타 함수 이론과 합동 법칙을 확장한 것이다.

ABSTRACT

We prove the rationality, the functional equations and calculate the radii of convergence of the Nielsen and the Reidemeister zeta functions of continuous maps on infra-solvmanifolds of type $\\R$. We find a connection between the Reidemeister and Nielsen zeta functions and the Reidemeister torsions of the corresponding mapping tori. We show that if the Reidemeister zeta function is defined for a homeomorphism on an infra-solvmanifold of type $\\R$, then this manifold is an infra-nilmanifold. We also prove that a map on an infra-solvmanifold of type $\\R$ induced by an affine map minimizes the topological entropy in its homotopy class and it has a rational Artin-Mazur zeta function. Finally we prove the Gauss congruences for the Reidemeister and Nielsen numbers of any map on an infra-solvmanifolds of type $\\R$ whenever all the Reidemeister numbers of iterates of the map are finite. Our main technical tool is the averaging formulas for the Lefschetz, the Nielsen and the Reidemeister numbers on infra-solvmanifolds of type $\\R$.

연구 동기 및 목표

• 노이만 및 라이드마이스터 제타 함수 이론을 니얼만이드에서 더 넓은 (R) 유형의 인프라-솔브만이드로 확장하기.
• 이러한 만이드에서의 맵에 대한 제타 함수의 합리성과 함수 방정식을 확립하기.
• 제타 함수를 해당 맵핑 토러스의 라이드마이스터 토르션과 연결하기.
• 유한성 조건 하에서 니엘렌 및 라이드마이스터 수에 대한 가우스 합동식을 증명하기.
• 라이드마이스터 제타 함수가 언제 정의되는지 특성화하여, 비-인프라-닐만이드인 인프라-솔브만이드에서는 정의되지 않음을 보여주기.

제안 방법

• 기본군의 구조를 이용하여 (R) 유형의 인프라-솔브만이드에서 레프셰츠, 니엘렌, 라이드마이스터 수에 대한 평균화 공식을 유도한다.
• 아핀 리프트와 호로노미 군의 개념을 적용하여 맵과 그 반복의 역학을 분석한다.
• 제타 함수의 함수 방정식과 유도된 자기형사의 고유값 성질을 이용하여 합리성을 증명한다.
• 스펙트럼 분석을 통해 라이드마이스터 제타 함수와 맵핑 토러스의 라이드마이스터 토르션 간의 연결 고리를 수립한다.
• 모비우스 역전 및 궤도 수세기 논증을 사용하여 주기점에 대한 가우스 합동식을 증명한다.
• 유비쿼터스 유니포텐셜 및 하이퍼볼릭 자기형사의 결과를 적용하여 라이드마이스터 수의 유한성을 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인프라-솔브만이드의 (R) 유형에서 맵에 대한 라이드마이스터 제타 함수가 언제 합리적이고 잘 정의되는가?
• RQ2 니엘렌 및 라이드마이스터 제타 함수는 맵핑 토러스의 라이드마이스터 토르션과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 라이드마이스터 수의 반복에 대한 유한성과 가우스 합동식의 타당성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 제타 함수는 니얼만이드를 초월하여 (R) 유형의 인프라-솔브만이드로 확장될 수 있으며, 그 해석적 성질는 무엇인가?
• RQ5 라이드마이스터 제타 함수가 언제 정의되지 않으며, 어떤 위상적 성질이 이를 초래하는가?

주요 결과

• 인프라-솔브만이드의 (R) 유형에서 맵에 대한 니엘렌 및 라이드마이스터 제타 함수는 유리 함수이며, 함수 방정식을 만족한다.
• 두 제타 함수의 수렴 반경은 유한하며, 맵의 위상 엔트로피와 관련이 있다.
• 라이드마이스터 제타 함수는 인프라-솔브만이드의 호메오모르피즘에 대해 항상 정의되지 않으며, 해당 만이드가 인프라-닐만이드일 경우에만 정의된다.
• 제타 함수는 유도된 자기형사의 스펙트럼 불변량을 통해 맵핑 토러스의 라이드마이스터 토르션과 연결된다.
• 모든 반복된 라이드마이스터 수가 유한할 경우, 어떤 맵에 대해서든 니엘렌 및 라이드마이스터 수에 대한 가우스 합동식이 성립한다.
• 아르틴-마자르 제타 함수는 (R) 유형의 인프라-솔브만이드에서 아핀 맵에 의해 유도된 맵에 대해 유리 함수이며, 이들 맵은 그 호모토피 클래스 내에서 위상 엔트로피를 최소화한다.