[논문 리뷰] The number of permutations with a given number of sequences

Marcus Kollar|ArXiv.org|2006. 10. 15.

Bayesian Methods and Mixture Models인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 생성함수와 직교다항식 기법을 통해 재귀를 해결하여, 정확히 $ s $개의 증가 또는 감소 연속서열을 가진 $ n $개 원소의 순열 수를 나타내는 $ P(n,s) $에 대한 명시적 닫힌형 식을 유도한다. Canfield와 Wilf가 제기한 문제를 해결하고 이전 문헌의 오류를 수정하기 위해 다항식 $ \psi_i(n,s) $, 생성함수 $ u_s(x) $, 분자 다항식 $ \Phi_s(x) $에 대한 정확한 공식을 제공한다.

ABSTRACT

P(n,s) denotes the number of permutations of 1,2,...n that have exactly s sequences. Canfield and Wilf [math.CO/0609704] recently showed that P(n,s) can be written as a sum of s polynomials in n. We determine these polynomials explicitly and also obtain explicit expressions for P(n,s) and its fixed-s generating function u_s(x).

연구 동기 및 목표

• 정확히 $ s $개의 연속서열(최대 증가 또는 감소 수열)을 가진 $ n $개 원소의 순열 수인 $ P(n,s) $에 대한 명시적 닫힌형 식을 유도하기 위해.
• Canfield와 Wilf의 재귀로부터 다항식 $ \psi_i(n,s) $를 명시적으로 결정하여, $ P(n,s) $를 $ (s-i)^n $ 항의 합으로 표현하기 위해.
• 고정된 $ s $에 대한 생성함수 $ u_s(x) = \sum_{n=2}^\infty P(n,s)x^n $와 그 분자 다항식 $ \Phi_s(x) $를 계산하고, 분수 생성함수 형태 $ \Phi_s(x)/\Delta_s(x) $를 확인 및 확장하기 위해.
• 컴퓨터 대수 시스템을 활용하여 $ n,s,i \leq 20 $ 범위에서 정밀한 유도와 검증을 통해 이전 결과, 특히 Carlitz의 결과를 수정하고 검증하기 위해.

제안 방법

• Canfield와 Wilf의 재귀를 $ \phi_i(n,t) = \psi_i(n,s-i) $를 도입하여 매개변수화함으로써 $ s $에 대한 의존도를 감소시킴.
• 생성함수 $ f(x,n,t) = \sum_i \phi_i(n,t)x^i $를 정의하고, 이 함수가 $ f $, $ x\partial f/\partial x $, $ n $를 포함하는 선형 편미분방정식을 만족함을 확인함.
• 분리형 해 $ f(x,n,t) = g(x,t) h(x,t)^n $를 가정하고, $ h(x,t) = (1-x^2)^{1/2} $를 얻어내고, 이에 따라 $ g(x,t) $에 대한 해를 구하는 상미분방정식을 유도함.
• 다항식 $ (1-x^2)^{(n-3)/2} $과 $ \left( \frac{2}{1+\sqrt{1-x^2}} \right)^t $의 급수 전개를 이용하여 계수를 추출하고, 명시적 표현을 유도함으로써 $ \phi_i(n,t) $, 즉 $ \psi_i(n,s) $를 유도함.
• 유도된 $ \psi_i(n,s) $를 합 $ P(n,s) = \sum_{i=0}^{s-1} \psi_i(n,s)(s-i)^n $에 적용하여 $ P(n,s) $에 대한 닫힌형 공식을 도출함.
• 생성함수 $ u_s(x) $를 $ n $에 대해 합산하고 분모를 정리하여 $ \Phi_s(x) $를 얻으며, 그 차수와 구조를 검증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 $ \psi_i(n,s) $의 명시적 형태는 무엇인가? 이는 $ P(n,s) $를 $ (s-i)^n $ 항의 합으로 표현하는 데 사용된다.
• RQ2 고정된 $ s $에 대한 생성함수 $ u_s(x) $는 닫힌형으로 표현될 수 있는가? 그 분자 다항식 $ \Phi_s(x) $의 구조는 어떠한가?
• RQ3 재귀식 $ \psi_i(n,s) $는 어떻게 해석적으로 해결되어 $ n $에 대한 정확한 다항식 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ4 이전에 보고된 $ P(n,s) $의 공식, 특히 Carlitz의 결과는 올바른가? 검증 또는 수정이 가능한가?
• RQ5 분자 다항식 $ \Phi_s(x) $의 정확한 차수와 계수 구조는 무엇이며, 분모 $ \Delta_s(x) $와의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 다항식 $ \psi_i(n,s) $는 $ \psi_i(n,s) = K(s-i) \sum_{j=0}^{\lfloor i/2 \rfloor} g_{i,j} p_j(n,s-i) $로 명시적으로 주어지며, 여기서 $ K(t) = 2^{-(t-2)} $, $ g_{i,j} $는 짝홀성에 따라 달라지는 계수이며, $ p_j(n,t) $는 이항계수와 초함수항의 콘볼루션 합이다.
• 생성함수 $ u_s(x) $는 $ \sum_{i=0}^{s-1} \sum_{k=0}^{\lfloor i/2 \rfloor} \frac{B_{i,k}(x,s-i)}{(1 - (s-i)x)^{k+1}} $로 표현되며, 여기서 $ B_{i,k}(x,t) $는 $ \widetilde{\Phi}_k(tx) $와 이항계수를 포함한다.
• 분자 다항식 $ \Phi_s(x) $의 차수는 $ 1 + \lceil s(s+2)/4 \rceil $이며, $ s = 1 $부터 $ 10 $까지의 계수는 명시적으로 계산되었으며, $ \Phi_1(x) = 2x^2 $, $ \Phi_2(x) = 4x^3 $, $ \Phi_3(x) = 2x^4(5 - 6x) $ 등이다.
• $ \widetilde{A}_k(z) $는 $ \widetilde{\Phi}_k(z) $ 유도에 사용되며, $ (1+z)^{k+1} $를 인수로 가지며, 그 계수는 WZ-검증된 항등식을 통해 유도된다.
• 최종적으로 $ \Phi_s(x) $는 분수 생성함수의 분모를 정리함으로써 도출되었으며, $ \Delta_s(x) = \prod_{i=0}^{s-1} (1 - (s-i)x)^{\lfloor i/2 \rfloor + 1} $인 형태 $ \Phi_s(x)/\Delta_s(x) $를 확인함.
• 결과는 $ n,s,i \leq 20 $ 범위에서 컴퓨터 대수 시스템을 활용하여 검증되었으며, 특히 Carlitz의 공식에서 오류가 있었던 이전 문헌의 오류를 해결하고 정확성을 입증함.