[论文解读] The $p$-cyclic McKay correspondence via motivic integration

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 13

一句话总结

该论文通过在商堆栈上使用 motivic 积分，建立了正特征 $p$ 下的 $p$-循环 McKay 对应。通过将变量替换公式推广至与 Artin-Schreier 扩张相关的扭曲弧，计算了商簇 $V/G$ 的弦理论 motivic 不变量，表明任意 Crepant 陈定理的拓扑 Euler 示性数为 $p$，并将其与指定分歧跳跃的 Galois 扩张计数联系起来。

ABSTRACT

We study the McKay correspondence for representations of the cyclic group of order $p$ in characteristic $p$. The main tool is the motivic integration generalized to quotient stacks associated to representations. Our version of the change of variables formula leads to an explicit computation of the stringy invariant of the quotient variety. A consequence is that a crepant resolution of the quotient variety (if any) has topological Euler characteristic $p$ like in the tame case. Also, we link a crepant resolution with a count of Artin-Schreier extensions of the power series field with respect to weights determined by ramification jumps and the representation.

研究动机与目标

• 将 McKay 对应推广至野生情形，特别是特征 $p$ 下阶为 $p$ 的循环群。
• 为具有非驯服群作用的商堆栈 $[V/G]$ 开发 motivic 积分技术。
• 利用扭曲弧和分歧数据计算商簇 $X = V/G$ 的弦理论 motivic 不变量。
• 建立 Crepant 陈定理与指定分歧跳跃的 Artin-Schreier 扩张计数之间的联系。
• 证明投影化商堆栈 $[X/\mathbb{G}_m]$ 的弦理论不变量的 Poincaré 对偶性。

提出的方法

• 将 motivic 积分推广至商堆栈 $\mathcal{X} = [V/G]$ 的扭曲弧空间。
• 通过 $k((t))$ 的 Artin-Schreier 扩张引入扭曲弧，由分歧跳跃 $j$ 参数化，其中 $p \nmid j$。
• 推导出一个变量替换公式，将 $\mathcal{J}_\infty\mathcal{X}$ 上的 motivic 积分与 $J_\infty X$ 上的积分关联，包含雅可比行列式和校正项 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}(\gamma) = \mathrm{sht}_V(j)$。
• 将弦理论 motivic 不变量 $M_{\mathrm{st}}(X)$ 定义为在弧空间上的 motivic 积分，使用推广后的变量替换公式。
• 使用不变量 $D_V = \sum_{\lambda=1}^l \frac{(d_\lambda - 1)d_\lambda}{2}$ 进行分类，当 $D_V \geq p$ 时保证不变量有定义。
• 应用该公式，推导出投影化堆栈 $[X/\mathbb{G}_m]$ 的 Poincaré 对偶性陈述。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 是特征 $p$ 下阶为 $p$ 的循环群时，商簇 $V/G$ 的弦理论 motivic 不变量的结构是什么？
• RQ2 motivic 积分理论如何推广至具有 $p$-群作用的非驯服商堆栈？
• RQ3 Artin-Schreier 扩张的分歧跳跃与商堆栈的弦理论不变量之间有何关系？
• RQ4 若存在 Crepant 陈定理，是否必有 $D_V = p$？若 $D_V = p$，是否保证存在此类陈定理？
• RQ5 能否在正特征下为这类商堆栈建立弦理论不变量的 Poincaré 对偶性？

主要发现

• 当 $D_V \geq p$ 时，$X = V/G$ 的弦理论 motivic 不变量为 $M_{\mathrm{st}}(X) = \mathbb{L}^d + \frac{\mathbb{L}^{l-1}(\mathbb{L}-1)\left(\sum_{s=1}^{p-1}\mathbb{L}^{s - \mathrm{sht}_V(s)}\right)}{1 - \mathbb{L}^{p-1-D_V}}$。
• 若 $X$ 允许 Crepant 陈定理 $Y \to X$，则 $D_V = p$，且 $[Y] = \mathbb{L}^d + \mathbb{L}^l \sum_{s=1}^{p-1} \mathbb{L}^{s - \mathrm{sht}_V(s)}$，这意味着 $Y$ 的拓扑 Euler 示性数为 $p$。
• 对于有限域 $\mathbb{F}_q$，例外除子 $E_0 \subset Y$ 上的 $\mathbb{F}_q((t))$-有理点数满足 $\sharp E_0(\mathbb{F}_q) = 1 + \frac{p-1}{p} \sum_{j>0,\, p\nmid j} \frac{N_{q,j}}{q^{\mathrm{sht}_V(j)}}$，将点计数与 Galois 扩张计数联系起来。
• 投影化堆栈 $[X/\mathbb{G}_m]$ 的弦理论不变量满足 Poincaré 对偶性：$M_{\mathrm{st}}(\mathcal{W}; \mathbb{L}^{-1}) \mathbb{L}^{d-1} = M_{\mathrm{st}}(\mathcal{W}; \mathbb{L})$。
• 扭曲弧 $\gamma$ 的校正项 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}(\gamma)$ 由 $\mathrm{sht}_V(j) = \sum_{\lambda=1}^l \sum_{i=1}^{d_\lambda - 1} \left\lfloor \frac{ij}{p} \right\rfloor$ 给出，其中 $j$ 是关联 Artin-Schreier 扩张的分歧跳跃。
• 变量替换公式对映射 $\phi_\infty: \mathcal{J}_\infty\mathcal{X} \to J_\infty X$ 成立，测度变换涉及 $\mathrm{ord}\, \mathrm{Jac}_\phi$ 和 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}$。