[논문 리뷰] The Penrose inequality on perturbations of the Schwarzschild exterior

Spyros Alexakis|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 21.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 18인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 슈바르츠실트 외부와 가까운 진공 시공간에 대해 펌베르티브 형태의 펜로즈 부등식을 수립하며, 과거로 향하는 빛의 초면 $̟_0$ 상의 경계가 없는 외측 포착 구면(MOTS)의 면적은 애드미트 에너지를 아래에서 유계화함을 증명한다. 점차적으로 둥근 형태가 되고 호킹 질량이 단조롭게 증가하도록 초기 빛의 초면을 변형함으로써, 저자들은 암시 함수 정리를 적용하여 과거 빛의 무한대에서 계량을 균일화하는 커플런 인자(conformal factor)를 구성한다. 이에 따라 소규모 왜곡에 대해 부등식이 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

We prove a version the Penrose inequality for black hole space-times which are perturbations of the Schwarzschild exterior in a slab around a null hypersurface $\underline{\mathcal{N}}_0$. $\underline{\mathcal{N}}_0$ terminates at past null infinity $\mathcal{I}^-$ and $\mathcal{S}_0:=\partial\underline{\mathcal{N}}_0$ is chosen to be a marginally outer trapped sphere. We show that the area of $\mathcal{S}_0$ yields a lower bound for the Bondi energy of sections of past null infinity, thus also for the total ADM energy. Our argument is perturbative, and rests on suitably deforming the initial null hypersurface $\underline{\mathcal{N}}_0$ to one for which the natural "luminosity" foliation originally introduced by Hawking yields a monotonically increasing Hawking mass, and for which the leaves of this foliation become asymptotically round. It is to ensure the latter (essential) property that we perform the deformation of the initial nullhypersurface $\underline{\mathcal{N}}_0$.

연구 동기 및 목표

• 스처바르츠실트 외부의 소규모 왜곡을 가진 시공간에 대해 펜로즈 부등식의 버전을 수립하는 것.
• 과거로 향하는 빛의 초면 $̟_0$ 상의 경계가 없는 외측 포착 구면(MOTS)의 면적이 시공간의 애드미트 에너지를 아래에서 유계화함을 보이는 것.
• 과거 빛의 무한대에서 빛의 초면의 점차적인 둥근 형태를 확보함으로써, 가우스 곡률을 제어하고 암시 함수 정리를 적용하는 데 필수적인 조건을 확보하는 것.
• 스처바르츠실트 질량 1의 해가 정규적이고 소규모 왜곡된 슈바르츠실트 외부의 공간에서 애드미트 질량의 국소 최소화자임을 증명하는 것.

제안 방법

• 초기 빛의 초면 $̟_0$ 를 새로운 빛의 초면 $̟_\omega$ 로 변형하여 자연스러운 빛의 밝기 분할이 단조롭게 증가하는 호킹 질량을 유도하는 것.
• 암시 함수 정리를 사용하여 과거 빛의 무한대에서 계량을 균일화하는 커플런 인자 $e^{2\Sigma(\omega)}$ 를 구하는 것.
• 빛의 초면의 변형에 따른 리치 계수와 자코비 장의 펌베르티브 분석을 적용하여, 과거 무한대에서 와이어르 곡률과 가우스 곡률의 첫 번째 변위를 제어하는 것.
• 변형된 빛의 초면에 대해 일정한 빛의 밝기 분할을 구성하고, $W^{4,p}$ 및 $W^{2,p}$ 가중치 소볼레프 노름을 사용하여 그 점근적 행동을 분석하는 것.
• 선형화된 연산자 $\mathcal{L}_\omega$ 가 구형 라플라스 연산자 $\Delta_{\mathbb{S}^2}$ 의 소규모 왜곡임을 이용하여 암시 함수 정리 적용 시 역행성과 횡단성 보장.
• 배경 계량 $\gamma^\infty$ 와 동치인 상수 곡률 계량을 매개변수화하기 위해 커플런 군 $SO(3,1)$ 을 사용하고, 해 공간이 이 군과 횡단적으로 만남을 이룸을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역적인 사건의 지평선 존재를 가정하지 않고도, 슈바르츠실트 외부의 소규모 왜곡을 가진 시공간에 대해 펜로즈 부등식을 증명할 수 있는가?
• RQ2 과거로 향하는 빛의 초면 $̟_0$ 상의 MOTS 면적이 이러한 왜곡된 시공간에서 애드미트 에너지를 아래에서 유계화하는가?
• RQ3 빛의 초면의 점근적 기하학을 변형하여 그 빛의 밝기 분할이 단조롭게 증가하고 과거 빛의 무한대에서 점차 둥근 구를 얻을 수 있는가?
• RQ4 초기 빛의 초면에 대한 소규모 왜곡 하에서 암시 함수 정리를 사용하여 과거 빛의 무한대에서 계량을 균일화하는 커플런 인자를 구성할 수 있는가?
• RQ5 과거 무한대에서 가우스 곡률의 첫 번째 변위는 빛의 초면의 변형과 관련된 자코비 장과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 초기 빛의 초면 $̟_0$ 상의 MOTS $\mathcal{S}_0$ 의 면적은 시공간의 애드미트 에너지를 아래에서 유계화하며, 등호는 슈바르츠실트 경우에서만 성립한다.
• 변형된 빛의 초면 $̟_\omega$ 의 빛의 밝기 분할을 따라 호킹 질량은 단조롭게 증가하며, 이는 펌베르티브 영역에서 펜로즈 부등식의 타당성을 보장한다.
• 적절한 커플런 변형을 통해 과거 빛의 무한대에서 가우스 곡률이 상수로 변환되며, 이는 커플런 인자 $\Sigma(\omega)$ 에 대해 암시 함수 정리를 적용하여 달성된다.
• 커플런 인자 $e^{2\Sigma(\omega)}$ 의 해 공간은 4차원 매개변수 가중치의 커플런 변환 $U_{\lambda,q}$ 와 횡단적으로 만남을 이루며, 상수 가우스 곡률을 가진 해의 존재를 보장한다.
• 초기 빛의 초면의 변형은 빛의 밝기 분할의 겉면이 점차 둥근 형태가 되게 하며, 이는 질량과 곡률의 점근적 행동을 제어하는 데 필수적이다.
• 펌베르티브 크기의 $W^{4,p}$ 와 $W^{2,p}$ 노름에서의 작고, 연산자 $\mathcal{L}_\omega$ 가 $\mathbb{S}^2$ 상의 라플라스 연산자의 소규모 왜곡이므로 암시 함수 정리가 적용 가능하다.