[논문 리뷰] The Price of Dynamic Inconsistency for Distortion Risk Measures

Pu Huang, Dan A. Iancu외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 30.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 누적 비용에 단일 일관된 위험 측정법을 적용하는 것과 일단위 일관된 위험 매핑을 조합하는 것이라는 두 가지 다기의 위험 측정 프레임워크를 비교한다. 두 프레임워크 간의 지배 조건을 설정하고, 근사 정확도를 수량화하는 지표를 도입하며, 비대칭성을 드러낸다: 가장 날카운 상한은 정확히 특성화 가능하지만, 가장 날카운 하한은 그렇지 않으며, 일반적으로는 NP-난이도이지만 특정 경우(예: 조건부 값하한)에서는 다항시간 해법이 존재한다.

ABSTRACT

This paper compares two different frameworks recently introduced in the literature for measuring risk in a multi-period setting. The first corresponds to applying a single coherent risk measure to the cumulative future costs, while the second involves applying a composition of one-step coherent risk mappings. We summarize the relative strengths of the two methods, characterize several necessary and sufficient conditions under which one of the measurements always dominates the other, and introduce a metric to quantify how close the two risk measures are. Using this notion, we address the question of how tightly a given coherent measure can be approximated by lower or upper-bounding compositional measures. We exhibit an interesting asymmetry between the two cases: the tightest possible upper-bound can be exactly characterized, and corresponds to a popular construction in the literature, while the tightest-possible lower bound is not readily available. We show that testing domination and computing the approximation factors is generally NP-hard, even when the risk measures in question are comonotonic and law-invariant. However, we characterize conditions and discuss several examples where polynomial-time algorithms are possible. One such case is the well-known Conditional Value-at-Risk measure, which is further explored in our companion paper [Huang, Iancu, Petrik and Subramanian, Static and Dynamic Conditional Value at Risk (2012)]. Our theoretical and algorithmic constructions exploit interesting connections between the study of risk measures and the theory of submodularity and combinatorial optimization, which may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 다기의 위험 측정 프레임워크인 단일 일관된 위험 측정법 대비 구성적 일단위 매핑의 성능을 비교하는 것.
• 다기 설정에서 한 위험 측정법이 다른 위험 측정법을 지배하는 데 필요한 필수 및 충분 조건을 특성화하는 것.
• 일관된 위험 측정법과 그 구성적 경계 사이의 근사 갭을 수량화하는 지표를 도입하는 것.
• 지배성 테스트 및 근사 요인 계산의 계산 복잡도를 조사하는 것.
• 특히 조건부 값하한과 같은 잘 알려진 위험 측정법에서 다항시간 알고리즘이 존재하는 경우를 식별하는 것.

제안 방법

• 논문은 일관된 위험 측정법과 그 구성적 근사치 사이의 거리를 측정하는 지표를 정의하여 상한과 하한을 비교할 수 있도록 한다.
• 동적 설정에서 한 위험 측정법이 다른 위험 측정법을 일관되게 지배하는 데 필요한 필수 및 충분 조건을 수립한다.
• 구조적 통찰과 알고리즘 가능성을 도출하기 위해 하위모듈라리티와 조합 최적화와의 연결 고리를 활용한다.
• 지배성 테스트 및 근사 요인 계산이 조건부 동일성과 법 불변성 조건 하에서도 여전히 NP-난이도임을 증명한다.
• 특정 위험 측정법(예: 조건부 값하한)의 경우, 다항시간으로 해결 가능한 사례를 식별하여 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 이론적 구성 수단을 통해 가장 날카운 상한은 정확히 특성화 가능하지만, 가장 날카운 하한은 여전히 명확하지 않음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다기 설정에서 단일 일관된 위험 측정법이 그 구성적 동반자보다 언제 지배하는가?
• RQ2 일관된 위험 측정법은 구성적 일단위 위험 매핑으로 얼마나 날카롭게 근사될 수 있으며, 최소 근사 갭은 얼마인가?
• RQ3 일관된 위험 측정법의 근사에서 가장 날카운 상한과 하한 사이에 비대칭성이 존재하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 위험 측정법 간의 지배성 여부를 판단하거나 근사 요인을 계산하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 특히 조건부 값하한과 같은 잘 알려진 위험 측정법에서 근사 문제를 다항시간에 해결할 수 있는 경우는 언제인가?

주요 결과

• 일관된 위험 측정법에 대한 가장 날카운 상한은 정확히 특성화할 수 있으며, 문헌에서 잘 알려진 구성과 일치한다.
• 반면 가장 날카운 하한은 쉽게 특성화할 수 없으며, 이는 근사 문제의 근본적인 비대칭성을 드러낸다.
• 위험 측정법 간의 지배성 테스트 및 근사 요인 계산은 조건부 동일성과 법 불변성 조건이 존재하더라도 여전히 NP-난이도 문제이다.
• 일반적인 NP-난이도에도 불구하고, 조건부 값하한 측정법과 같은 특정 사례에서는 다항시간 알고리즘이 존재한다.
• 이론적 및 알고리즘적 발전은 위험 측정과 하위모듈라리티 최적화 사이의 깊은 연관성을 드러내며, 이는 위험 분석을 넘어서도 광범위한 영향을 미칠 수 있다.