[论文解读] The Principal-Agent Problem With Time Inconsistent Utility Functions

Boualem Djehiche, Peter Helgesson|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出一种随机最大值原理方法，用于求解具有时间不一致均值-方差效用函数的连续时间委托-代理问题，利用前向-后向随机微分方程（FBSDEs）刻画最优契约。关键贡献是在线性二次设定下获得最优努力与补偿的半显式解，且证明该契约适应于产出信息。

ABSTRACT

In this paper we study a generalization of the continuous time Principal-Agent problem allowing for time inconsistent utility functions, for instance of mean-variance type. Using recent results on the Pontryagin maximum principle for FBSDEs we suggest a method of characterizing optimal contracts for such models. To illustrate this we consider a fully solved explicit example in the linear quadratic setting.

研究动机与目标

• 解决在时间不一致均值-方差效用函数下委托-代理问题，其中经典动态规划方法失效。
• 开发一种通用方法，用于刻画当代理人与委托人的目标不具时间一致性时的最优契约。
• 将随机最大值原理扩展至具有隐藏行动与隐藏契约的委托-代理情境下的FBSDEs。
• 在线性二次框架下提供一个完全可解的示例，证明该方法的可行性。
• 确保最优契约适应于委托人的信息集，特别是基于产出信息的设定。

提出的方法

• 首先使用FBSDE的庞特里亚金最大值原理求解代理人问题，推导出最优努力作为伴随过程的函数。
• 将委托人问题表述为一个基于FBSDE的约束最优控制问题，哈密顿函数同时包含期望收益与方差惩罚项。
• 通过为伴随过程假设线性形式，求解由十二个耦合的里卡蒂方程构成的系统，从而推导出最优契约。
• 该解涉及对代理人努力与委托人补偿的联合优化，受激励相容性与参与约束的限制。
• 使用蒙特卡洛模拟估计代理人的期望收益与方差，从而实现拉格朗日乘子的数值校准。
• 结果表明，最优契约适应于产出滤子，确认其与隐藏行动设定的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有时间不一致均值-方差效用函数的委托-代理模型中，如何刻画最优契约？
• RQ2 能否将随机最大值原理扩展至求解具有隐藏行动与隐藏契约的FBSDE-based委托-代理问题？
• RQ3 在仅可观测产出的情况下，何种条件可确保最优契约适应于委托人的信息集？
• RQ4 在均值-方差设定下，如何同时满足参与约束与激励相容约束？
• RQ5 在具有时间不一致偏好的线性二次模型中，最优补偿与努力的结构是怎样的？

主要发现

• 最优努力为伴随过程的线性函数，表达式为 $\bar{e}(t) = b p(t) + s(t)$，其中 $p(t)$ 满足一个后向SDE。
• 最优补偿为 $\bar{s}(t) = \frac{b P_1(t) + (1+b) P_2(t)}{\lambda_P}$，由委托人的哈密顿函数与伴随FBSDE推导得出。
• 在为伴随过程假设线性形式的条件下，整个系统可简化为一组十二个耦合的里卡蒂方程，从而实现半显式解。
• 最优契约是 $\mathbb{F}_x$-适应的，即仅依赖于产出过程，确认其与隐藏行动假设的一致性。
• 通过蒙特卡洛方法进行的数值模拟证实，通过调节拉格朗日乘子 $\lambda_E$、$\lambda_V$ 与 $\lambda_P$，可实现参与约束的满足。
• 通过参数 $a = b = \sigma = 1$，$\alpha = 0.2$，$T = 0.03$ 的数值示例验证了解的正确性，显示契约动态的收敛性。