[논문 리뷰] The problem of harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group

Grigori Olshanski|ArXiv.org|2001. 09. 24.

Random Matrices and Applications참고 문헌 13인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 비국소적 컴팩트성이 없어 정규 표현이 존재하지 않는 무한차원 unitary 군 $U(\infty)$에 대해, 정규 표현이 없는 상황에서 존재하지 않는 표현의 의미 있는 대체물로 작용하는 4개의 매개변수를 가진 '자연스러운' unitary 표현의 가족을 도입함으로써, $U(\infty)$에서의 조화 분석 문제를 정식화한다. 이 논문은 $U(\infty)$의 임의의 특징의 스펙트럼 측도가 $U(N)$으로의 제한에 의해 유도되는 이산 스펙트럼 측도의 약한 수렴으로 근사 가능하다는 것을 증명하며, 이는 무작위 행렬 이론과 점근 조합론에서의 점근 극한 문제로의 조화 분석 문제의 환원을 가능하게 한다. 이 문제의 해법은 동반 논문 [BO4]에서 완전히 실현된다.

ABSTRACT

The goal of harmonic analysis on a (noncommutative) group is to decompose the most `natural' unitary representations of this group (like the regular representation) on irreducible ones. The infinite-dimensional unitary group U(infinity) is one of the basic examples of `big' groups whose irreducible representations depend on infinitely many parameters. Our aim is to explain what the harmonic analysis on U(infinity) consists of. We deal with unitary representations of a reasonable class, which are in 1-1 correspondence with characters (central, positive definite, normalized functions on U(infinity)). The decomposition of any representation of this class is described by a probability measure (called spectral measure) on the space of indecomposable characters. The indecomposable characters were found by Dan Voiculescu in 1976. The main result of the present paper consists in explicitly constructing a 4-parameter family of `natural' representations and computing their characters. We view these representations as a substitute of the nonexisting regular representation of U(infinity). We state the problem of harmonic analysis on U(infinity) as the problem of computing the spectral measures for these `natural' representations. A solution to this problem is given in the next paper math/0109194, joint with Alexei Borodin. We also prove a few auxiliary general results. In particular, it is proved that the spectral measure of any character of U(infinity) can be approximated by a sequence of (discrete) spectral measures for the restrictions of the character to the compact unitary groups U(N). This fact is a starting point for computing spectral measures.

연구 동기 및 목표

• 비국소적 컴팩트성이 없어 전통적인 정규 표현이 존재하지 않는 $U(\infty)$의 의미 있는 정규 표현 대체물 정의.
• 임의의 $U(\infty)$의 특징의 스펙트럼 측도가 $U(N)$으로의 제한에 의해 유도되는 이산 스펙트럼 측도로 근사 가능하다는 것을 증명.
• $U(\infty)$에서의 조화 분석 문제를 4개의 매개변수를 가진 '자연스러운' 표현의 스펙트럼 측도 계산 문제로 재정의.
• 다음 논문 [BO4]에서 이러한 스펙트럼 측도를 명시적으로 계산하기 위한 분석적이고 구조적인 기초 — 특히 일관성 체계와 극한 특징에 대한 — 마련.

제안 방법

• 군 $G = U(\infty) \times U(\infty)$의 unitary 표현 가족을 구성함으로써, $K$-고정된 원소를 가진 순환 $K$-고정된 벡터를 갖도록 하며, 여기서 $K$는 $U(\infty)$와 동형인 대각선 부분군이며, 이는 구면 표현을 유도한다.
• 구면 표현과 특징 사이의 대응 관계를 이용: 각 표현은 $U(\infty)$에서 중심적이고, 정규화된, 정부호 함수(특징)에 대응한다.
• Gelfand-Tsetlin 패턴 $\mathbb{GT}_N$ 위에서 일관성 체계 $\{P_N(\cdot \mid z,z,w,w')\}$를 통해 4개의 매개변수를 가진 특징 $\chi_{z,z,w,w'}$를 정의한다.
• 서명의 수렴과 일관성 체계의 수렴을 이용하여, $U(\infty)$의 임의의 특징의 스펙트럼 측도가 그 제한에 의해 유도되는 이산 스펙트럼 측도의 약한 수렴임을 증명한다.
• 극한 특징은 Gelfand-Tsetlin 그래프에서의 무한 경로 공간 위의 극한 중심 측도와 일대일 대응되며, 이 측도의 지지 집합은 경로의 끝점 $\omega \in \Omega$에 도달하는 정규 경로 위에 있다.
• 조화 분석 문제를 특징 $\chi_{z,z,w,w'}$의 스펙트럼 측도 $P$를 계산하는 문제로 환원하며, 이 측도는 유한차원 측도 $\underline{P}_N$의 극한임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적 컴팩트성이 없어 전통적인 정규 표현이 존재하지 않는 $U(\infty)$에 대해, 적절한 정규 표현 대체물은 무엇인가?
• RQ2 어떻게 $U(\infty)$의 특징의 스펙트럼 측도를 유한차원 unitary 군 $U(N)$으로의 제한을 통해 근사할 수 있는가?
• RQ3 극한 특징의 공간은 어떤 구조를 가지며, Gelfand-Tsetlin 그래프의 경계와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 무한차원 $U(\infty)$에서의 조화 분석 문제는 어떻게 무작위 행렬 이론이나 점근 조합론의 점근 문제로 환원될 수 있는가?
• RQ5 무한차원 $\mathbb{GT}_N$ 위에서의 일관성 체계 $\{P_N\}$과 그로 유도된 특징의 스펙트럼 측도 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $U(\infty)$의 임의의 특징의 스펙트럼 측도는 $U(N)$으로의 제한에 의해 유도되는 이산 스펙트럼 측도의 수열로 근사 가능하며, 이는 유한차원과 무한차원 조화 분석 사이의 핵심적 연결 고리를 확립한다.
• 극한 특징은 Gelfand-Tsetlin 그래프의 경계점 $\omega \in \Omega$와 일대일 대응되며, 각 극한 특징 $\chi^{(\omega)}$는 $\omega$에서 끝나는 정규 경로 집합 위에 지지되는 극한 중심 측도 $M^{(\omega)}$에 대응한다.
• 4개의 매개변수를 가진 특징 $\chi_{z,z,w,w'}$는 $\mathbb{GT}_N$ 위에서의 일관성 체계 $P_N(\cdot \mid z,z,w,w')$를 통해 구성되며, 조화 분석에 적합한 자연스러운 표현의 가족을 제공한다.
• 특징 $\chi$에 대응하는 구면 표현 $T_{\chi}$의 분해는 다중도 없이, 스펙트럼 측도 $P$에 의해 결정되며, 이는 기저가 되는 기저 표현들로의 직접 적분 분해를 묘사한다.
• $U\left(\infty\right)$에서의 조화 분석 문제는 특징 $\chi_{z,z,w,w'}$의 스펙트럼 측도 $P$를 계산하는 문제로 환원되며, 이 측도는 유한차원 측도 $\underline{P}_N$의 약한 수렴임을 보였다.
• 전체 스펙트럼 측도 계산 문제의 해법은 동반 논문 [BO4]에서 완성되었으며, 여기서 스펙트럼 측도는 확률적 점 과정을 통해 명시적으로 묘사되며, 표현 이론에서 새로운 도구로 활용된다.