[논문 리뷰] The QAOA gets stuck starting from a good classical string

Madelyn Cain, Edward Farhi외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 QAOA를 고품질의 고전적 비트 스트링에서 시작하는 온기 있는 시작(QAOA)을 조사한다. 즉, 균일한 초위상이 아닌 고전적 비트 스트링에서 알고리즘이 시작된다. 직관적인 기대와는 달리, 수치적 및 분석적 결과는 QAOA가 초기 스트링에 갇혀 있어 비용 함수를 향상시키지 못함을 보여주며, 이는 낮고 중간 수준의 회로 깊이에서도 여전히 존재하는 매개터 공간 내의 본질적인 기하학적 및 역학적 제약 때문임을 밝힌다.

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) is designed to maximize a cost function over bit strings. While the initial state is traditionally a uniform superposition over all strings, it is natural to try expediting the QAOA: first use a classical algorithm to produce some good string, and then run the standard QAOA starting in the computational basis state associated with that string. Here we report numerical experiments that show this method of initializing the QAOA fails dramatically, exhibiting little to no improvement of the cost function. We provide multiple analytical arguments for this lack of improvement, each of which can be made rigorous under different regimes or assumptions, including at nearly linear depths. We emphasize that our negative results only apply to our simple incarnation of the warm-start QAOA and may not apply to other approaches in the literature. We hope that our theoretical analysis will inform future algorithm design.

연구 동기 및 목표

• 고품질의 고전적 비트 스트링('온기 있는 시작')으로 QAOA를 초기화하면 더 나은 해로의 수렴 속도가 빨라지는지 조사하는 것.
• 특정 스트링에서 시작할 경우 수치 실험에서 비용 함수 향상이 관찰되지 않는 이유를 이해하는 것.
• 다양한 가정과 영역에서 관측된 정체 현상에 대한 분석적 설명을 제공하는 것.
• 이 특정 온기 있는 시작 방법의 한계를 밝혀내며, 문헌에 있는 다른 온기 있는 시작 변형들과의 차이를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 작은 및 큰 그래프 인스턴스(예: MaxCut)에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 다양한 회로 깊이에서 고비용 단일 고전적 스트링에서 시작하는 QAOA의 성능을 테스트한다.
• 작은 각도와 낮은 깊이에서의 분석적 추론을 통해, 비례론적 이론을 사용하여 비용 함수 향상이 최소한임을 보여준다.
• 일정 깊이에서의 열역학적 추론을 통해 QAOA 진동의 열화상태를 가정하여 정체 현상을 설명한다.
• 하위선형 깊이 추론을 통해 고비용 스트링의 수가 비용과 함께 지수적으로 감소한다고 가정하여, 향상 가능한 스트링의 수를 제한함을 설명한다.
• QAOA 유니터리 공간에서의 유니터리 패킹 및 커버링 기법을 사용하여 비율이 눈에 띄게 높은 확률로 향상 가능한 스트링의 수를 경계한다.
• 트레이스 부등식과 넷 기반 커버링 추론을 사용하여 목표 비용 수준까지 향상 가능한 스트링 비율의 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고품질의 고전적 비트 스트링에서 시작할 경우 QAOA가 비용 함수를 향상시키지 못하는 이유는 무엇인가요?
• RQ2 관측된 수치적 정체 현상을 설명할 수 있는 분석적 메커니즘이 존재하는가요?
• RQ3 이 실패 현상은 회로 깊이에 따라 달라지며, 만약 그렇다면 낮은, 일정한, 또는 하위선형 깊이에서 행동이 어떻게 변화하는가요?
• RQ4 온기 있는 시작에서 향상 가능한 스트링의 수에 대한 이론적 경계가 존재하는가? 이 경계는 문제 크기와 깊이에 따라 어떻게 척도가 변하는가?
• RQ5 정체 현상은 어떤 가정 하에 엄밀하게 설명될 수 있으며, 이러한 가정은 결과의 일반성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 온기 있는 시작 QAOA가 단일 고품질 고전적 스트링에서 시작하더라도 광범위한 수치 실험에서 비용 함수 향상이 측정되지 않으며, 낮고 높은 회로 깊이에서도 동일하게 나타난다.
• 작은 각도와 낮은 깊이에서의 분석적 추론을 통해 기대 비용 함수 향상은 무시할 수 없을 정도로 작으며, 이는 $ O( heta^2) $로 척도가 정해지며, 여기서 $ heta $는 QAOA 각도를 제어하는 작은 매개변수이다.
• 일정 깊이에서 열역학적 가정을 통해 시스템이 개선 없이 열적 평형 상태에 도달함을 예측하여 정체 현상을 설명한다.
• 하위선형 깊이에서 고비용 스트링의 수가 비용과 함께 지수적으로 감소한다고 가정할 경우, 향상 가능한 스트링의 비율은 $ ilde{O}ig((16 ilde{p}n^2)^{p/(p+1)}ig) $로 경계되며, 이는 깊이에 따라 급격히 감소한다.
• 선택 확률이 최소 $ ilde{ heta} $ 이상인 목표 비용 $ C_1 $까지 향상 가능한 스트링의 수는 $ Oig( d_1 / ilde{ heta} imes (16 ilde{p}n^2 / ilde{ heta})^{2 ilde{p}} ig) $로 경계되며, 여기서 $ d_1 $은 비용이 $ ilde{C}_1 $ 이상인 스트링의 수이다.
• 비용 창문 $[C_0, C_0']$ 에서 무작위로 선택한 스트링이 선택 확률 $ ilde{ heta} $ 이상으로 $ C_1 $까지 향상 가능한 확률은 $ ilde{ heta} = ig(2d_1/d_0ig)^{1/(2p+2)} (16 ilde{p}n^2)^{p/(p+1)} $로 경계되며, 이는 높은 깊이에서 향상 가능한 스트링이 지수적으로 드물다는 것을 보여준다.