[논문 리뷰] The quadratic rough Heston model and the joint S&P 500/VIX smile calibration problem

Jim Gatheral, Paul Jusselin외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 33인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 연속 경로를 갖는 확률적 변동성 모델인 이차 난류 헤스톤 모델을 소개한다. 이 모델은 S&P 500(SPX) 및 VIX 옵션의 임의의 변동성 미스를 동시에 성공적으로 캘리브레이션할 수 있다. 난류 변동성 역학과 가격 피드백(Zumbach) 효과를 조합함으로써, 오랫동안 해결되지 않았던 변동성 모델링의 과제를 해결하였으며, Julien Guyon의 추측(연속적인 SPX 경로 하에서의 동시 캘리브레이션은 불가능하다)에 대한 반례를 제시한다.

ABSTRACT

Fitting simultaneously SPX and VIX smiles is known to be one of the most challenging problems in volatility modeling. A long-standing conjecture due to Julien Guyon is that it may not be possible to calibrate jointly these two quantities with a model with continuous sample-paths. We present the quadratic rough Heston model as a counterexample to this conjecture. The key idea is the combination of rough volatility together with a price-feedback (Zumbach) effect.

연구 동기 및 목표

• 연속 경로 모델에서 SPX 및 VIX 옵션의 임의의 변동성 미스를 동시에 캘리브레이션하는 오랜 도전 과제를 해결하기 위해.
• Julien Guyon이 연속적인 SPX 가격 경로 하에서 동시 캘리브레이션은 불가능하다고 제안한 추측에 도전하기 위해.
• 난류 변동성과 가격 피드백 효과의 조합이 정확한 동시 캘리브레이션을 가능하게 함을 보여주기 위해.
• SPX 및 VIX 옵션의 주요 마켓 특성을 재현할 수 있는 간결하고 해석 가능한 모델을 제공하기 위해.
• VIX 및 SPX 옵션 가격 산정을 위한 점프-디퓨전 또는 모델 프리 없는 접근법의 실용적 대안을 제공하기 위해.

제안 방법

• 이차 난류 헤스톤 모델을 제안하여, 난류 헤스톤 모델에 가격 피드백(Zumbach) 효과를 추가한다.
• 헤르스트 지수 α ≈ 0.51을 갖는 분수 차수 브라운 운동에 의해 구동되는 확률적 변동성 과정을 도입한다.
• 과거 수익률에 대한 피드백을 비마르코프형 적분 구조를 통해 포함하는 수정된 변동성 과정 Zt를 제안한다.
• 캘리브레이션을 단순화하기 위해 초기 함수 θ0(t) = Z0 / (λΓ(1−α)t−α)의 매개변수 형태를 사용한다.
• SPX 및 VIX 옵션의 모델에 의한 임의의 변동성과 시장 중간 임의의 변동성 간의 차이를 최소화하는 최소 제곱 목적 함수를 사용하여 모델 매개변수를 캘리브레이션한다.
• 모델에 의한 임의의 변동성 계산을 위해 몬테카를로 시뮬레이션을 수행하고, 여섯 개의 매개변수 α, λ, a, b, c, Z0를 캘리브레이션한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 경로 모델이 SPX 및 VIX 옵션의 미스를 동시에 캘리브레이션할 수 있는가? 이는 Guyon의 추측에 도전하는가?
• RQ2 난류 변동성과 가격 피드백(Zumbach 효과)의 조합이 기존의 난류 헤스톤 모델보다 더 나은 동시 캘리브레이션을 가능하게 하는가?
• RQ3 이 모델에 대해 간결하고, 마르코프형으로 환원 가능한 무한차원 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 모델은 SPX 미스의 왼쪽 꼬리와 단기 만기의 VIX 미스 구조를 얼마나 잘 재현할 수 있는가?
• RQ5 특히 단기 만기의 경우, 모델은 VIX 옵션의 시장 입찰-매도 스프레드 내에서 적합한가?

주요 결과

• 모델은 2017년 5월 19일자로 α = 0.51, λ = 1.2, a = 0.384, b = 0.095, c = 0.0025, Z0 = 0.1의 매개변수를 사용하여 SPX 및 VIX의 임의의 변동성 미스를 성공적으로 피팅한다.
• 모델이 생성한 VIX 미스는 관측된 시장 입찰-매도 스프레드 내에 체계적으로 포함되어 있어 높은 시장 일관성을 보인다.
• SPX 변동성 표면, 특히 극단적인 왼쪽 꼬리까지도 모델이 잘 재현한다.
• 시장 하락 기간 동안 VIX의 급등을 모델이 잘 포착할 수 있었으며, 이는 Zumbach 효과에 따라 하락 후 변동성이 상승하는 정도가 상승 후보다 더 크다는 점과 일치한다.
• 모델의 무한차원 마르코프형 표현은 SPX 및 VIX의 유럽식 옵션 가격을 시간, S, 그리고 초기 함수 θt의 함수로 계산할 수 있도록 한다.
• 비최적의 캘리브레이션 접근법과 여섯 개의 매개변수에도 불구하고 모델은 고정밀도의 동시 캘리브레이션을 달성하였으며, 향후 고급 캘리브레이션 기법을 적용할 경우 더 향상될 수 있음을 시사한다.