[논문 리뷰] The Quantum Approximate Optimization Algorithm Needs to See the Whole Graph: A Typical Case

Edward Farhi, David Gamarnik외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 88

한 줄 요약

이 논문은 무작위 희소 그래프에 대해 shallow depth의 QAOA(p = O(log n))가 최적 독립집합 크기의 상수 비율보다 나아갈 수 없으며, 지역성 및 겹침 간격(overlap gap) 특성 때문에 전체 그래프를 충분히 보게 되도록 p가 커지지 않는 한 그런 성능을 기대하기 어렵다고 주장한다.

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm can naturally be applied to combinatorial search problems on graphs. The quantum circuit has p applications of a unitary operator that respects the locality of the graph. On a graph with bounded degree, with p small enough, measurements of distant qubits in the state output by the QAOA give uncorrelated results. We focus on finding big independent sets in random graphs with dn/2 edges keeping d fixed and n large. Using the Overlap Gap Property of almost optimal independent sets in random graphs, and the locality of the QAOA, we are able to show that if p is less than a d-dependent constant times log n, the QAOA cannot do better than finding an independent set of size .854 times the optimal for d large. Because the logarithm is slowly growing, even at one million qubits we can only show that the algorithm is blocked if p is in single digits. At higher p the algorithm "sees" the whole graph and we have no indication that performance is limited.

연구 동기 및 목표

• 양자 최적화를 위한 테스트베드로서 무작위 그래프에서 MIS를 QAOA로 연구하는 것을 동기화한다.
• 그래프 locality로 인한 얕은 깊이에서 QAOA의 한계를 특성화한다.
• 저깊이에서 양자 알고리즘에 장애물로 작용하는 Overlap Gap Property(OGP)를 도입한다.
• 큰 d와 p가 상수배의 log n까지인 범위에서 QAOA+(가지치기 포함)가 상수배 근사치를 넘어설 수 없음을 보인다.

제안 방법

• MIS에 대한 그래프-의존 로컬 비용 함수를 정의하고 교대 유니터리 U(C,γ)와 U(B,β)로 QAOA를 구현한다.
• 곱 상태를 사용하고 locality를 분석하여 멀리 떨어진 큐비트의 측정 독립성을 증명한다(2p 간격).
• 무작위 그래프에서 큰 MIS의 Overlap Gap Property(OGP)를 활용하여 shallow depth에서 달성 가능한 성능을 한정한다.
• QAOA+를 MIS로 가지치기하여 도출하고 OGP하에서의 성능을 분석한다.
• QAOA+ 출력의 해밍 가중치에 대한 집중도 결과를 제시하여 성능에 대한 확률적 한계를 뒷받침한다.
• 그래프 보간 기법을 적용하여 2p가 임계값 아래일 때, 알고리즘이 최적해의 일정 fraction를 초과하지 못함을 높은 확률로 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저깊이(p = O(log n))에서 QAOA가 무작위 그래프의 MIS에 대해 상수배 근사치를 능가할 수 있는가?
• RQ2 locality가 QAOA가 멀리 떨어진 큐비트를 연관시키는 능력과 MIS 성능에 어떠한 제약을 주는가?
• RQ3 저깊이에서 양자 알고리즘을 방해하는 Overlap Gap Property의 역할은 무엇인가?
• RQ4 QAOA+를 MIS로 가지치기하는 것이 locality와 OGP가 부과하는 근본적 한계를 바꾸는가?

주요 결과

• 무작위 그래프에서 평균 차수 d가 고정되고 2p <= w log n / log(d/ln 2) (w<1, 대형 d일 때)일 때, QAOA는 최적 MIS 크기의 0.854배를 넘지 못한다(점진적 극한에서).
• p가 충분히 커서 알고리즘이 전체 그래프를 효과적으로 보게 되면, 이러한 주장들로부터 성능에 대한 제한은 시사되지 않는다.
• 깊이 p=1.5에서 특별히 설계된 초기 상태를 사용하면 QAOA+가 큰 d에 대해 기대값으로 대략 1.02 n / d 정도의 목적 값을 달성할 수 있어 얕은 QAOA+의 기본 성능을 보여준다.
• Overlap Gap Property는 거의 최적에 가까운 독립 집합들 간의 중첩(overlap)에서 급격한 차이를 시사하며, locality와 상관관계를 통해 저깊이에서 QAOA+에 장애를 만든다.
• 해밍 가중치의 집중도 결과가 평균값 주변으로 높은 확률로 수렴함을 보여 주어, 성능에 대한 확률적 한계를 뒷받침한다.
• OGP와 locality의 결합은 공식적인 장애 정리를 제시한다: 깊이가 log n의 상수배까지일 때, 대형 d에 대해 QAOA+가 최적해의 η*배보다 더 큰 출력을 낼 가능성이 낮다.