[논문 리뷰] The quantum FFT can be classically simulated

Dorit Aharonov, Zeph Landau외 1명|ArXiv.org|2006. 11. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 15인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 ℤ_q 위의 양자 푸리에 변환(QFT)이 다항 시간 내에 고전적으로 시뮬레이션될 수 있음을 보여주며, 이는 QFT가 다항 로그 길이의 버블 너비를 갖는 양자 회로로 표현 가능하기 때문이며, 이는 트리 너머와 관련된 위상수학적 매개변수이다. 이 성질과 저너비 회로에 대한 기존의 고전적 시뮬레이션 기법을 활용하여, 저자들은 QFT의 출력 진폭이 고전 컴퓨터에서 정확하고 효율적으로 계산될 수 있음을 증명하며, QFT가 본질적으로 양자적이라는 가정에 도전한다.

ABSTRACT

In this note we describe a simple and intriguing observation: the quantum Fourier transform (QFT) over $Z_q$, which is considered the most ``quantum'' part of Shor's algorithm, can in fact be simulated efficiently by classical computers. More precisely, we observe that the QFT can be performed by a circuit of poly-logarithmic path-width, if the circuit is allowed to apply not only unitary gates but also general linear gates. Recalling the results of Markov and Shi [MaSh] and Jozsa [Jo] which provided classical simulations of such circuits in time exponential in the tree-width, this implies the result stated in the title. Classical simulations of the FFT are of course meaningless when applied to classical input strings on which their result is already known; Our observation might be interesting only in the context in which the QFT is used as a subroutine and applied to more interesting superpositions. We discuss the reasons why this idea seems to fail to provide an efficient classical simulation of the entire factoring algorithm. In the course of proving our observation, we provide two alternative proofs of the results of [MaSh,Jo] which we use. One proof is very similar in spirit to that of [MaSh] but is more visual, and is based on a graph parameter which we call the ``bubble width'', tightly related to the path- and tree-width. The other proof is based on connections to the Jones polynomial; It is very short, if one is willing to rely on several known results.

연구 동기 및 목표

• 양자 푸리에 변환(QFT)이 쇼어의 인수분해 알고리즘의 핵심 구성요소이지만, 고전 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션될 수 있는가를 조사하기 위해
• 버블 너비와 트리 너비와 같은 위상수학적 매개변수를 기반으로 한 양자 회로의 고전적 시뮬레이터 가능성 탐색하기
• 새로운 그래프 이론적 및 위상수학적 도구를 사용하여 기존의 고전적 시뮬레이션 정리에 대한 대체 증명 제공하기
• 특히 모듈로 지수화와 같은 고버블 너비 성분으로 인해 전체 인수분해 알고리즘에 적용할 경우 고전적 시뮬레이션의 한계를 검토하기

제안 방법

• 양자 회로 그래프에 대한 위상수학적 매개변수로 버블 너비를 도입하며, 이를 그래프의 연속적인 위상 동형 변형과 둘러싸는 버블을 통해 정의한다.
• 왼쪽에서 오른쪽으로의 버블링 과정을 구성하여 QFT 회로가 다항 로그 길이의 버블 너비를 갖는다는 것을 증명한다. 이 과정에서 어떤 단계에서나 교차하는 간선의 수가 유한함을 보장한다.
• 마르코프와 시(2006)의 결과를 적용한다. 이 결과에 따르면 고전적 시뮬레이션 시간은 트리 너머에 대해 지수적으로 증가하며, 버블 너비가 트리 너비와 밀접하게 관련되어 있으므로 이는 효율적인 고전적 시뮬레이션을 암시한다.
• 두 가지 대체 증명을 제공한다: 하나는 버블 너비를 사용한 시각적이고 조합론적인 증명이며, 다른 하나는 양자 회로에서 유도된 브레이드의 존스 다항식을 기반으로 한 증명이다.
• 존스 다항식의 양자 보편성과 저트리 너비 브레이드에 대한 알려진 효율적 평가 알고리즘을 활용하여, 고전적으로 원하는 진폭을 계산한다.
• 기존의 양자 회로를 다항 로그 길이의 버블 너비를 갖는 브레이드로 변환함으로써, 존스 다항식이 준다항 시간 내에 평가될 수 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 푸리에 변환이 본질적으로 양자적인 연산으로 여겨지지만, 고전 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션될 수 있는가?
• RQ2 버블 너비 매개변수는 트리 너비보다 더 날카롭거나 직관적인 방식으로 시뮬레이터블 양자 회로를 특성화하는가?
• RQ3 QFT 자체는 시뮬레이터블함에도 불구하고, 왜 QFT의 고전적 시뮬레이션은 전체 인수분해 알고리즘으로 확장되지 않는가?
• RQ4 존스 다항식 프레임워크를 사용하여 저위상 복잡도를 갖는 양자 회로의 효율적 고전적 시뮬레이션을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• ℤ_q 위의 양자 푸리에 변환은 다항 시간 내에 고전적으로 시뮬레이션 가능하며, 그 이유는 해당 회로가 다항 로그 길이의 버블 너비를 갖기 때문이다.
• QFT 회로의 버블 너비는 큐비트 수의 제곱 함수로 유계이며, 이는 입력 크기에 대해 다항 로그 길이이다.
• 고전적 시뮬레이션 시간은 버블 너비에 대해 지수적으로 증가하지만, 버블 너비가 다항 로그 길이이므로 총 시간은 게이트 수에 대해 다항 시간을 유지한다.
• 존스 다항식 기반 증명은 관심 있는 진폭이 저트리 너비를 갖는 브레이드 그래프를 기반으로 하여 준다항 시간 내에 계산될 수 있음을 보여준다.
• 모듈로 지수화 단계가 큐비트 수에 대해 거의 선형 길이의 버블 너비를 갖기 때문에, QFT의 고전적 시뮬레이션은 쇼어의 전체 인수분해 알고리즘으로 확장되지 않는다.
• 버블 너비는 회로 조합에 대해 가환적이지 않기 때문에, 개별 구성 요소가 낮은 버블 너비를 갖더라도 그 조합은 낮지 않을 수 있으며, 결과적으로 시뮬레이션 효율성이 떨어질 수 있다.