[논문 리뷰] The Radon transform and the Hough transform: a unifying perspective

Riccardo Aramini, Fabrice Delbary외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 30.

Image and Object Detection Techniques참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 적절한 조건 하에서 이산화된 Hough sinogram이 매개변수 공간의 이산화 단위가 0에 수렴함에 따라 연속적인 Radon sinogram으로 수렴함을 증명함으로써 Radon 변환과 Hough 변환 간의 이론적 통합을 수립한다. 주요 기여는 Hough 변환 기반 패턴 인식이 연속적인 Radon 변환의 이산 근사로 간주될 수 있음을 엄밀한 수학적 프레임워크로 보여주는 것으로, 영상 복원 및 역문제에서의 정규화에 영향을 미친다.

ABSTRACT

The Radon transform is a linear integral transform that mimics the data formation process in medical imaging modalities like X-ray Computerized Tomography and Positron Emission Tomography. The Hough transform is a pattern recognition technique, which is mainly used to detect straight lines in digital images and which has been recently extended to the automatic recognition of algebraic plane curves. Although defined in very different ways, in numerical applications both transforms ultimately take an image as an input and provide, as an output, a function defined on a parameter space. The parameters in this space describe a family of curves, which represent either the integration domains considered in the (generalized) Radon transform, or the curves to be detected by means of the Hough transform. In both cases, the 2D plot of the intensity values of the output function is the so-called (Radon or Hough) sinogram. While the Hough sinogram is produced by an algorithm whose implementation requires that the parameter space be discretized in cells, the Radon sinogram is mathematically defined on a continuous parameter space, which in turn may need to be discretized just for physical or numerical reasons. In this paper, by considering a more general and n-dimensional setting, we prove that, whether the input image is described as a set of points (possibly with different intensity values) or as a piecewise constant function, its (rescaled) Hough sinogram converges to the corresponding Radon sinogram as the discretization step in the parameter space tends to zero. We also show that this result may have a notable impact on the image reconstruction problem of inverting the Radon sinogram recorded by a medical imaging scanner, and that the description of the Hough transform problem within the framework of regularization theory for inverse problems is worth investigating.

연구 동기 및 목표

• Radon 변환과 Hough 변환 간의 이론적 연결을 수립하는 것. 이는 전통적으로 별개의 수학적 도구로 간주되어 왔다.
• 매개변수 공간의 이산화 단위가 0에 수렴함에 따라 이산 Hough 변환 sinogram이 연속적인 Radon 변환 sinogram으로 수렴하는 것을 조사하는 것.
• 이 수렴성이 의료 영상에서의 영상 복원, 특히 역문제 이론 및 정규화 이론의 맥락에서 어떤 영향을 미치는지 탐구하는 것.
• 대부분의 대수적 곡선과 매개변수 공간 적분의 맥락에서 Hough 변환에 대한 엄밀한 수학적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 이중 변환 모두 이미지를 점 집합 또는 조각별 상수 함수로 표현하는 일반적인 n차원 설정을 고려한다.
• Hough 변환은 이산화된 매개변수 공간 위의 이산 누적 함수로 정의되며, 각 셀은 이미지 점들로부터의 투표 수를 세는 방식이다.
• Radon 변환은 함수 f(x;λ)의 등고선에 대해 적분하는 연속적 적분으로 표현되며, 적분을 곡선 f(x;λ) = 0에 국한하기 위해 Dirac 델타 함수를 사용한다.
• 등고선을 국소적으로 매개변수화하기 위해 단위 분할(partition of unity)을 사용하여 Radon 적분을 국소 매개변수화에 대한 적분의 합으로 변환한다.
• f의 기울기의 유계성과 관련 함수의 매끄러움을 이용하여 국소 이웃 영역에서 적분의 균일 수렴을 통해 Radon 변환의 연속성을 확립한다.
• 이산화 단위가 사라질 때 이산 합이 연속 적분을 근사함을 보여줌으로써 Hough sinogram이 Radon sinogram으로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수 공간의 이산화 단위가 0으로 갈수록 Hough 변환 sinogram이 Radon 변환 sinogram으로 수렴하는가?
• RQ2 일반적인 n차원 설정에서 Hough 변환은 공식적으로 연속 Radon 변환의 이산 근사로 해석될 수 있는가?
• RQ3 Hough 변환 출력이 Radon 변환 출력으로 수렴하는 데 필요한 함수 해석적 조건은 무엇인가?
• RQ4 이 수렴성이 의료 영상 응용에서 sinogram의 수치적 역변환에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Hough 변환 문제는 역문제의 정규화 이론의 틀 안에서 의미 있게 재구성될 수 있는가?

주요 결과

• 곡선과 이미지 함수에 대해 약한 정칙 조건이 만족되면, 매개변수 공간의 이산화 단위가 0으로 갈수록 Hough sinogram이 Radon sinogram으로 수렴한다.
• Radon 변환은 매개변수 공간에서 연속임이 입증되었으며, 이는 안정성과 수치적 역변환에 적합함을 뒷받침한다.
• 점 기반 및 조각별 상수 이미지 표현 방식 모두에 대해 수렴 결과가 성립하여 프레임워크의 유효성을 확장한다.
• 수렴 증명은 은둔 함수 정리와 단위 분할을 이용한 등고선의 국소 매개변수화에 기반하며, 매끄럽고 적분 가능한 성질을 보장한다.
• 이 결과는 Hough 변환 기반 탐지 방법이 연속 역Radon 문제의 정규화된 이산 근사로 간주될 수 있음을 시사한다.
• 이 프레임워크는 노이즈가 많거나 데이터가 불완전한 상황에서 정규화 이론을 Hough 변환 문제에 적용할 수 있는 새로운 길을 열어준다.