[논문 리뷰] The Ramanujan Property for Simplicial Complexes

Uriya A. First|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 09.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 46인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 높은 차원의 단체 복합체에서 라마누잔 성질을 정의하는 통합 프레임워크를 제안하며, 애핀 빌딩의 몫에 대한 스펙트럼 이론을 통해 라마누잔 그래프를 고차원으로 일반화한다. 국소 체의 양의 특성에서 애핀 빌딩이 모든 차원에서 무한히 많은 라마누잔 몫을 갖는다는 것을 표현 이론과 자동형 양식을 사용하여 증명하며, 기존의 알려진 라마누잔 복합체를 특수한 경우로 복원하고 새로운 라마누잔 그래프를 구성한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a topological group acting on a simplicial complex $\mathcal{X}$ satisfying some mild assumptions. For example, consider a $k$-regular tree and its automorphism group, or more generally, a regular affine Bruhat-Tits building and its automorphism group. We define and study various types of high-dimensional spectra of quotients of $\mathcal{X}$ by subgroups of $G$. These spectra include the spectrum of many natural operators associated with the quotients, e.g. the high-dimensional Laplacians. We prove a theorem in the spirit of the Alon-Boppana Theorem, leading to a notion of Ramanujan quotients of $\mathcal{X}$. Ramanujan $k$-regular graphs and Ramanuajn complexes in the sense of Lubotzky, Samuels and Vishne are Ramanujan in dimension $0$ according to our definition (for $\mathcal{X}$, $G$ suitably chosen). We give a criterion for a quotient of $\mathcal{X}$ to be Ramanujan which is phrased in terms of representations of $G$, and use it, together with deep results about automorphic representations, to show that affine buildings of inner forms of $\mathbf{GL}_n$ over local fields of positive characteristic admit infinitely many quotients which are Ramanujan in all dimensions. The Ramanujan (in dimension $0$) complexes constructed by Lubotzky, Samuels and Vishne arise as a special case of our construction. Our construction also gives rise to Ramanujan graphs which are apparently new. Other applications are also discussed. For example, we show that there are non-isomorphic simiplicial complexes which are isospectral in all dimensions.

연구 동기 및 목표

• 애핀 빌딩의 몫에 대한 스펙트럼 이론을 사용하여 그래프의 라마누잔 성질을 고차원 단체 복합체로 일반화한다.
• 자기 동형군의 표현 이론에 기반하여 몫 복합체가 라마누잔이 되는 조건을 설정한다.
• 양의 특성의 국소 체 위의 GL_n의 내부 형식에 대한 애핀 빌딩이 모든 차원에서 무한히 많은 라마누잔 몫을 갖는다는 것을 증명한다.
• 기존의 알려진 라마누잔 복합체와 그래프를 새로운 프레임워크의 특수한 경우로 복원한다.
• 이전에 알려지지 않은 새로운 라마누잔 복합체와 그래프를 구성하고, 서로 동형이 아니지만 스펙트럼이 동일한 복합체의 존재를 보여준다.

제안 방법

• 군 작용과 관련된 헤크 연산자와 라플라스 연산자를 사용하여 단체 복합체 X의 몫의 고차원 스펙트럼을 정의한다.
• 고차원 알론–보파나 타입 정리를 제안하여 스펙트럼의 하한을 확보하고, 이로부터 라마누잔 몫의 개념을 도출한다.
• X의 자기 동형군 G의 표현 이론을 사용하여 온전한 표현과 유니터리 쌍대를 통해 라마누잔 몫을 특성화한다.
• GL_n에 대한 자동형 표현과 양의 특성에서의 라마누잔–피터슨 추측의 깊은 결과를 적용하여 라마누잔 몫을 구성한다.
• 자코넷–랑글랜즈 대응과 합동 부분군을 사용하여 빌딩의 명시적 몫을 유한한 복합체로 실현한다.
• *-대수의 함자적 프레임워크와 스펙트럼 분해를 사용하여 기약 유니터리 표현을 통해 스펙트럼을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 이론을 사용하여 그래프의 라마누잔 성질을 고차원 단체 복합체로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건이 몫 복합체의 스펙트럼이 라마누잔 그래프 조건과 유사한 최적의 스펙트럼 범위 내에 있도록 보장하는가?
• RQ3 양의 특성의 국소 체 위의 애핀 빌딩이 모든 차원에서 무한히 많은 라마누잔 몫을 갖는가?
• RQ4 자동형 양식과 표현 이론을 사용하여 새로운 라마누잔 복합체와 그래프를 구성할 수 있는가?
• RQ5 서로 동형이 아니지만 모든 차원에서 스펙트럼이 동일한 단체 복합체가 존재하는가?

주요 결과

• 양의 특성의 국소 체 위의 GL_n의 내부 형식에 대한 애핀 빌딩은 모든 차원에서 무한히 많은 라마누잔 몫을 갖는다.
• 빌딩이 PGL_d(F)일 경우 루보츠키, 사무엘스, 비슈네의 알려진 라마누잔 복합체가 특수한 경우로 복원된다.
• 이 방법은 이전에 알려지지 않은 새로운 라마누잔 그래프를 도출하며, 이는 분할 대수 D에 대한 PGL_d(D)의 합동 부분군에서 유래한다.
• 프레임워크는 서로 동형이 아니지만 모든 차원에서 스펙트럼이 동일한 단체 복합체의 존재를 증명한다.
• 몫 복합체의 스펙트럼은 유니버설 커버의 스펙트럼에 영 스펙트럼을 더한 것에 포함되며, 이는 라마누잔 그래프 조건을 일반화한다.
• 라마누잔 몫의 조건은 온전한 표현과 유니터리 쌍대를 통해 기술되며, 자동형 양식을 통한 명시적 스펙트럼 분석을 가능하게 한다.