[논문 리뷰] The renormalized volume and uniformisation of conformal structures

Colin Guillarmou, Sergiu Moroianu외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 28.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 36인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 짝수 차원에서의 점점이 비틀린 아인슈타인 다양체에 대해 평면화된 체적의 폴리코프 유형 공식을 수립하며, 비선형 방정식 $ v_n(h_0) = \text{const} $와 같은 임계점이 아인슈타인 계량을 포함하여 식별된다. 이는 비틀린 곱 채움 구조에서 음의 곡률을 가진 아인슈타인 계량을 포함하는 호환 클래스가 평면화된 체적의 국소 최소값임을 증명하며, 준푸크시안 상호성과 AHE 경계를 코타angent 공간의 라그랑주 부분다양체로 포함시킨다.

ABSTRACT

We study the renormalized volume of asymptotically hyperbolic Einstein (AHE in short) manifolds $(M,g)$ when the conformal boundary $\\pl M$ has dimension $n$ even. Its definition depends on the choice of metric $h_0$ on $\\partial M$ in the conformal class at infinity determined by $g$, we denote it by ${\ m Vol}_R(M,g;h_0)$. We show that ${\ m Vol}_R(M,g;\\cdot)$ is a functional admitting a "Polyakov type" formula in the conformal class $[h_0]$ and we describe the critical points as solutions of some non-linear equation $v_n(h_0)={\ m const}$, satisfied in particular by Einstein metrics. In dimension $n=2$, choosing extremizers in the conformal class amounts to uniformizing the surface, while in dimension $n=4$ this amounts to solving the $\\sigma_2$-Yamabe problem. Next, we consider the variation of ${\ m Vol}_R(M,\\cdot;\\cdot)$ along a curve of AHE metrics $g^t$ with boundary metric $h_0^t$ and we use this to show that, provided conformal classes can be (locally) parametrized by metrics $h$ solving $v_n(h)=\\int_{\\pl M}v_n(h){\ m dvol}_{h}$, the set of ends of AHE manifolds (up to diffeomorphisms isotopic to Identity) can be viewed as a Lagrangian submanifold in the cotangent space to the space $\\mc{T}(\\pl M)$ of conformal structures on $\\pl M$. We obtain as a consequence a higher-dimensional version of McMullen's quasifuchsian reciprocity. We finally show that conformal classes admitting negatively curved Einstein metrics are local minima for the renormalized volume for a warped product type filling.

연구 동기 및 목표

• 경계가 짝수 차원인 점점이 비틀린 아인슈타인 다양체에 대해 평면화된 체적 $ \mathrm{Vol}_R(M,g;h_0) $ 를 정의하고 연구한다.
• 경계 계량 $ h_0 $ 의 호환 변화에 대한 $ \mathrm{Vol}_R $ 의 변화에 대해 폴리코프 유형 공식을 수립한다.
• $ \mathrm{Vol}_R $ 의 임계점을 $ v_n(h_0) = \text{const} $ 의 해로 특성화하며, 아인슈타인 계량을 포함한다.
• AHE 다양체의 경계들이 매개변수 조건 하에, 테이히뮐러 공간 $ \mathcal{T}(\partial M) $ 의 코타angent 공간 내에 라그랑주 부분다양체를 이룬다.
• 비틀린 곱 유형 채움에서 음의 곡률을 가진 아인슈타인 계량을 포함하는 호환 클래스가 평면화된 체적의 국소 최소값임을 증명한다.

제안 방법

• 경계 계량의 호환 스케일링 $ h_0 \mapsto e^{2\omega}h_0 $ 에 따른 첫 번째 변위를 계산하여 $ \mathrm{Vol}_R(M,g;h_0) $ 에 대한 폴리코프 유형 공식을 유도하며, $ \partial_\omega \mathrm{Vol}_R = -\frac{1}{4} \int_N \omega \, v_n(h_0) \, d\mathrm{vol}_{h_0} + \text{낮은 차수의 항들} $ 을 얻는다.
• 경계 근처에서 계량의 점점적 전개를 이용하여, $ x $ 를 지오데식 경계 정의 함수로 삼아 $ z=0 $ 에서 $ \int_M x^z \, d\mathrm{vol}_g $ 의 유한 부분으로 평면화된 체적을 정의한다.
• 스펙트럼 함수 $ \mathcal{H}_\varepsilon(u) $ 를 포함하는 디감마 함수 $ \Psi $ 를 이용한, $ \mathrm{Vol}_R $ 의 두 번째 변위를 분석하기 위해 호환 라플라스 연산자 $ L_{h_0} $ 의 함수 해석학을 적용한다.
• 각 호환 대표 $ h_0 $ 에 대해 유일한 지오데식 경계 정의 함수 $ x $ 가 존재함을 이용하여, 무한 근처에서 계량의 구조가 잘 정의됨을 보장한다.
• 점점적 전개의 일관성과 평면화된 체적의 존재를 확보하기 위해 $ h_2 $ 에 대한 제약 방정식 (2) 를 사용한다.
• 웨이츠엔복 유형 항등식과 스펙트럼 분석을 적용하여 두 번째 변위 연산자의 양의 정부호성을 증명하며, 국소 최소값을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 계량 $ h_0 $ 의 호환 변화에 따라 평면화된 체적 $ \mathrm{Vol}_R(M,g;h_0) $ 는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 호환 클래스 $[h_0]$ 내에서 $ \mathrm{Vol}_R $ 의 임계점은 무엇인가?
• RQ3 AHE 다양체의 공간은 평면화된 체적을 통해 자연스럽게 심플렉틱 기하학 프레임워크에 포함될 수 있는가?
• RQ4 특히 비틀린 곱 채움 하에서, 아인슈타인 계량이 호환 클래스 내에서 평면화된 체적을 최소화하는가?
• RQ5 평면화된 체적의 두 번째 변위는 무엇이며, 어떤 조건에서 정의된 양의 정부호가 되는가?

주요 결과

• 평면화된 체적은 폴리코프 유형 공식을 가진다: $ \partial_\omega \mathrm{Vol}_R = -\frac{1}{4} \int_N \omega \, v_n(h_0) \, d\mathrm{vol}_{h_0} + \text{낮은 차수의 항들} $, 이는 $ n $-번째 기본 대칭 함수가 샤우텐 텐서에 의존함을 보여준다.
• 호환 클래스 $[h_0]$ 내에서 $ \mathrm{Vol}_R $ 의 임계점은 $ v_n(h_0) = \text{const} $ 의 해이며, 아인슈타인 계량이 이 조건을 만족한다.
• 차원 $ n=2 $ 에서는 $ \mathrm{Vol}_R $ 를 극값화하는 것은 표면의 균일화와 일치하며, $ n=4 $ 에서는 $ \sigma_2 $-야마베 문제로 축소된다.
• 경계가 동치류에 대해 동치인 AHE 다양체의 경계 집합은 조건 $ v_n(h) = \int_{\partial M} v_n(h) \, d\mathrm{vol}_h $ 를 만족하는 계량으로 호환 클래스가 매개변수화될 경우, $ \mathcal{T}(\partial M) $ 의 코타angent 공간 내에 라그랑주 부분다양체를 이룬다.
• $ n=4 $ 에서 두 번째 변위가 조건 $ L_{h_0} - \frac{9}{4} \geq 0 $ 하에 양의 정부호임을 증명하여, 음의 곡률을 가진 아인슈타인 계량을 포함하는 호환 클래스가 평면화된 체적의 국소 최소값임을 보여준다.
• 두 번째 변위 공식에서 스펙트럼 함수 $ \mathcal{H}_\varepsilon(u) $ 의 양의 정부호성은 점점적 분석과 디감마 함수 $ \Psi $ 의 경계를 이용하여 엄밀히 증명되었으며, 임계점 근처에서 $ \mathrm{Vol}_R $ 의 볼록성을 확인한다.