[논문 리뷰] The Riordan Group and Symmetric Lattice Paths

Deng Li-hua, Eva Y.P. Deng외 1명|ArXiv.org|2009. 06. 10.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리오르단 군 기법을 사용하여 대칭 딜크, 모츠킨, 슈뢰더 경로를 조사하며, 그 수 $d_n$, $m_n$, $s_n$ 사이의 여섯 개의 조합적 항등식을 유도한다. 두 항등식에 대한 조합적 증명을 제공하고, 대칭 딜크 경로의 평균 중간 높이와 평균 x축 교차 수를 계산하여 $n \to \infty$ 일 때 둘 다 4로 수렴함을 보인다. 이 작업은 대칭 격자 경로와 리오르단 배열 간의 연결 고리를 확립하며, 정확한 생성 함수와 구조적 통찰을 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we study symmetric lattice paths. Let $d_{n}$, $m_{n}$, and $s_{n}$ denote the number of symmetric Dyck paths, symmetric Motzkin paths, and symmetric Schröder paths of length $2n$, respectively. By using Riordan group methods we obtain six identities relating $d_{n}$, $m_{n}$, and $s_{n}$ and also give two of them combinatorial proofs. Finally, we investigate some relations satisfied by the generic element of some special Riordan arrays and get the average mid-height and the average number of points on the x-axis of symmetric Dyck paths of length $2n.$

연구 동기 및 목표

• 리오르단 군 기법을 사용하여 대칭 딜크, 모츠킨, 슈뢰더 경로의 수를 연결하는 조합적 항등식을 수립하기.
• 유도된 항등식 중 두 개에 대해 $d_n$, $m_n$, $s_n$를 포함하는 조합적 증명을 제공하기.
• 특히 평균 중간 높이와 평균 x축 교차 수를 포함한 대칭 딜크 경로의 구조적 성질 분석하기.
• 대칭 격자 경로를 리오르단 배열과 연결하고, 경로 통계량에 대한 생성 함수 항등식을 도출하기.

제안 방법

• 특히 생성 함수와 재귀 관계에 중점을 두어 리오르단 군 프레임워크를 활용해 대칭 격자 경로를 분석하기.
• 첫 번째 복귀 분해를 사용하여 대칭 슈뢰더 경로의 생성 함수 유도: $s(x) = \frac{1}{2x}\left(\sqrt{\frac{x^2 - 2x - 1}{x^2 + 2x - 1}} - 1\right)$.
• 리오르단 배열의 기본 정리(FTRA)를 적용하여 2의 거듭제곱으로 가중된 경로 수의 합을 포함하는 항등식 유도하기.
• 상승 단계를 수평 단계로 수정하는 경로 변환 사상 $\phi_{j_1,\dots,j_k}$ 정의하여 합 항등식의 조합적 증명 가능하게 하기.
• 경로 수를 세는 데 기본 도구로 생성 함수 $B(x) = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}$ 와 $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x}$ 사용하기.
• 왼쪽 반쪽을 통해 대칭 경로 분석하고 대칭 제약 조건을 적용하여 $s_{n,k}$, 즉 첫 $n$ 단계에 $k$개의 상승 단계를 가진 대칭 슈뢰더 경로의 수에 대한 재귀 관계 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 딜크, 모츠킨, 슈뢰더 경로의 수 $d_n$, $m_n$, $s_n$ 사이의 조합적 항등식은 무엇인가?
• RQ2 리오르단 군 기법을 사용하여 대칭 격자 경로를 포함하는 항등식을 어떻게 도출하고 증명할 수 있는가?
• RQ3 길이 $2n$인 대칭 딜크 경로의 평균 중간 높이는 얼마인가?
• RQ4 길이 $2n$인 대칭 딜크 경로의 x축 상의 점 수 평균은 얼마인가?
• RQ5 대칭 경로의 통계량은 리오르단 배열과 생성 함수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 길이 $2n$인 대칭 딜크 경로의 평균 중간 높이는 $n \to \infty$ 일 때 4로 수렴하며, 홀수 $n = 2m+1$일 경우 정확한 값은 $4 \cdot \frac{n+1}{n+2}$, 짝수 $n = 2m$일 경우 $4m+1$이다.
• 길이 $2n$인 대칭 딜크 경로의 평균 x축 교차 수 역시 극한에서 4로 수렴하며, 홀수 $n$일 경우 정확한 값은 $4 \cdot \frac{n+1}{n+2}$, 짝수 $n$일 경우 $4m+1$이다.
• 대칭 딜크 경로의 생성 함수는 $d(x) = \frac{1}{2x}\left(\sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}} - 1\right)$이며, $\frac{C(x^2)}{1 - xC(x^2)}$ 와 동치이다.
• 대칭 모츠킨 경로의 생성 함수는 $m(x) = \frac{1}{2x}\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-3x}} - 1\right)$이며, 수열 A005773와 일치한다.
• 대칭 슈뢰더 경로의 생성 함수는 $s(x) = \frac{1}{2x}\left(\sqrt{\frac{x^2 - 2x - 1}{x^2 + 2x - 1}} - 1\right)$이며, 수열 A026003에 해당한다.
• 합 $\sum_{k=0}^n s_{n,k} = p_{n+1}$ 는 $p_n$이 펠 수열일 때 성립하며, $\sum_{k=0}^n 2^k s_{n,k} = h_{n+1}$ 는 $h_n$이 $\frac{1}{1-3x-x^2}$ 수열일 때 성립하며, FTRA와 조합적 사상으로 모두 증명되었다.