[논문 리뷰] The Satisfiability of Extended Word Equations: The Boundary Between Decidability and Undecidability

Joel D. Day, Vijay Ganesh외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 02.

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한 줄 요약

이 논문은 길이 함수와 유한한 변수 수 제약 조건을 포함한 확장된 단어 방정식의 결정 가능성과 결정 불가능성의 경계를 조사한다. 특정 클래스에 대해 새로운 결정 가능 결과를 도출하고 다른 경우에는 결정 불가능성을 증명함으로써, 스트링 SMT 솔버와 프로그램 분석에 관련된 확장된 단어 방정식을 해결하는 데 있어 이론적 한계를 명확히 한다.

ABSTRACT

The study of word equations (or the existential theory of equations over free monoids) is a central topic in mathematics and theoretical computer science. The problem of deciding whether a given word equation has a solution was shown to be decidable by Makanin in the late 1970s, and since then considerable work has been done on this topic. In recent years, this decidability question has gained critical importance in the context of string SMT solvers for security analysis. Further, many extensions (e.g., quantifier-free word equations with linear arithmetic over the length function) and fragments (e.g., restrictions on the number of variables) of this theory are important from a theoretical point of view, as well as for program analysis applications. Motivated by these considerations, we prove several new results and thus shed light on the boundary between decidability and undecidability for many fragments and extensions of the first order theory of word equations.

연구 동기 및 목표

• 확장된 단어 방정식의 결정 가능 및 결정 불가능한 조각 사이의 정확한 경계를 규명하는 것.
• 길이 제약 조건과 변수 제약 조건을 추가함으로써 만족 가능성 문제에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 프로그램 분석 및 보안 검증 분야에서 스트링 제약 조건 해결에 있어 이론적이고 실용적인 함의를 명확히 하는 것.
• 산술과 유한한 변수를 포함하는 더 rich한 이론으로 마카닌의 기초적인 결정 가능성 결과를 확장하는 것.
• 현대 스트링 제약 조건 솔버의 맥락에서 결정 가능하고 결정 불가능한 경우를 포괄적으로 분류하는 것.

제안 방법

• 추가 제약 조건, 특히 길이 함수를 포함한 일阶 논리적 단어 방정식 조각을 분석한다.
• 형식 언어 이론과 논리 기법을 적용하여 특정 클래스에 대해 결정 가능성 또는 결정 불가능성을 증명한다.
• 기존의 결정 불가능 문제(예: 힐버트의 제10 문제)로의 환원을 통해 확장된 이론에서의 결정 불가능성을 입증한다.
• 유한한 수의 변수를 갖는 단어 방정식의 구조적 분석을 통해 결정 가능한 하위클래스를 식별한다.
• 단어 방정식 만족 가능성과 재압축 기법의 결과를 활용하여 복잡도 한계를 설정한다.
• 논리적 환원과 오토마타 이론적 추론을 융합하여 표현력과 결정 가능성의 수준을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 제약 조건 등과 같은 단어 방정식의 어떤 확장이 여전히 결정 가능한가?
• RQ2 단어 방정식 만족 가능성 문제를 결정 불가능하게 만드는 최소한의 확장은 무엇인가?
• RQ3 산술을 포함한 변수 수 제약 조건이 단어 방정식의 결정 가능성에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ4 결정 가능 및 결정 불가능한 조각 사이의 경계를 정확히 특성화할 수 있는가?
• RQ5 이러한 결과들이 스트링 SMT 솔버와 프로그램 분석 도구 설계에 미치는 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 길이 제약 조건과 유한한 변수 수 제약 조건을 갖는 단어 방정식의 만족 가능성 문제가 특정 클래스에 대해 결정 가능함을 증명한다.
• 길이 제약 조건과 3개 이상의 변수를 동시에 추가하면 결정 불가능성이 발생함을 규명한다.
• 변수 수와 산술 확장의 조합이 결정 가능성과 결정 불가능성의 경계를 뚜렷이 정의함을 보여준다.
• 결과는 특히 보안 분석과 프로그램 검증 맥락에서 스트링 제약 조건 해결의 이론적 한계를 명확히 한다.
• 논문은 결정 가능하고 결정 불가능한 조각을 포괄적인 분류로 제공하며, 단어 방정식의 표현력에 관한 열린 질문들을 해결한다.
• 심지어 하나의 미지수에 길이 제약 조건이 추가되어도 구조적 복잡성이 충분히 높아지면 결정 불가능성이 발생할 수 있음을 입증한다.