[논문 리뷰] The Second Order Terms of the Variance Curves for Some Queueing Output Processes

Sophie Hautphenne, Yoav Kerner외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 01.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 용량 대기열인 M/M/1/K와 무한 용량 대기열인 M/G/1의 출력 과정에서 분산 곡선의 2차 항(절편)에 대한 명시적 표현을 도출한다. 유한 용량 대기열의 경우 Drazin 역행렬을, 무한 용량 대기열의 경우 Daley의 변환을 사용한다. 주요 기여는 절편의 닫힌 형식 특성화로, 이는 BRAVO 효과에 대한 깊이 있는 통찰을 제공하고 도착 과정과 대기열 길이 과정 간의 점근적 공분산 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider queueing output processes of some elementary queueing models such as the M/M/1/K queue and the M/G/1 queue. An important performance measure for these counting processes is their variance curve, indicating the variance of the number of served customers over a time interval. Recent work has revealed some non-trivial properties dealing with the asymptotic rate at which the variance curve grows. In this paper we add to the results by finding explicit expressions for the second order approximation of the variance curve, namely the y-intercept of the linear asymptote. For M/M/1/K queues our results are based on the Drazin inverse of the generator. It turns out that by viewing output processes as MAPs (Markovian Arrival Processes) and considering the Drazin inverse, one can obtain explicit expressions for the y-intercept, together with some further insight regarding the BRAVO effect (Balancing Reduces Asymptotic Variance of Outputs). For M/G/1 queues our results are based on a classic transform of D.J. Daley. In this case we represent the y-intercept of the variance curve in terms of the first three moments of the service time distribution. A further performance measure that we are able to calculate for both models, is the asymptotic covariance between the queue length and the number of arrivals or departures. In addition we shed light on a classic conjecture of Daley, dealing with characterization of stationary M/M/1 queues within the class of stationary M/G/1 queues, based on the variance curve.

연구 동기 및 목표

• M/M/1/K 및 M/G/1 대기열에서 분산 곡선의 절편에 대한 명시적 표현을 유도함으로써, 선형 증가율을 초월한 2차 점근적 행동을 포착한다.
• 유한 용량 M/M/1/K 대기열에서 Drazin 역행렬을 활용하여 BRAVO 효과(도착 출력의 분산을 감소시키는 균형)에 대한 깊이 있는 이해를 제공한다.
• 정상 조건 하에서 M/G/1 대기열에서 도착 수와 대기열 길이 간의 점근적 공분산을 계산한다.
• 분산 곡선 성질에 기반하여, M/G/1 대기열의 범주 내에서 M/M/1 대기열이 어떻게 특징지어지는지에 대한 Daley의 추측을 조사한다.
• 점근적 분산 곡선 근사식 $ v(t) = \overline{v}t + \overline{b} + o(1) $ 이 성립하는 조건, 특히 절편 $ \overline{b} $ 에 대해 명시한다.

제안 방법

• M/M/1/K 대기열의 경우, 생성행렬의 Drazin 역행렬을 사용하여 평균 도달 시간을 계산하고, 이를 통해 분산 곡선의 절편을 도출한다.
• M/G/1 대기열의 경우, D.J. Daley의 고전적 적분 변환에 기반하여 절편을 서비스 시간 분포의 첫 세 모멘트로 표현한다.
• 점근적 분산과 공분산 한계의 존재를 보장하기 위해 정상성과 에르고딕성 조건을 가정한다.
• 도착 과정과 대기열 길이 간의 점근적 공분산은 도착 과정의 분산과 대기열 길이 과정의 분산 및 공분산을 조합하여 유도된다.
• 도착 과정의 분산을 도착 과정과 대기열 길이 간의 공분산으로 연결하기 위해 항등식 $ D(t) = A(t) + Q(0) - Q(t) $ 를 활용한다.
• 서비스 시간의 세 번째 모멘트에 대한 가정과 대기열 길이 과정의 혼합 성질을 바탕으로 이론적 유도를 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정상 M/M/1/K 대기열의 분산 곡선에서 절편 $ \overline{b}_e $ 의 명시적 형태는 무엇이며, 생성행렬의 Drazin 역행렬과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 M/G/1 대기열에서 분산 곡선의 절편은 서비스 시간 분포의 첫 세 모멘트로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ3 정상 조건과 유한한 세 번째 모멘트 하에서 M/G/1 대기열에서 도착 수 $ A(t) $ 와 대기열 길이 $ Q(t) $ 간의 점근적 공분산은 닫힌 형식으로 표현 가능한가?
• RQ4 Drazin 역행렬을 활용한 M/M/1/K 대기열의 절편의 구조를 통해 BRAVO 효과를 분석적으로 설명할 수 있는가?
• RQ5 분산 곡선 성질에 기반한 Daley의 추측 — 즉, M/G/1 대기열의 정상 과정 중에서 M/M/1 대기열이 유일하게 특징지어진다 — 는 절편 행동을 바탕으로 증명되거나 반증될 수 있는가?

주요 결과

• M/M/1/K 대기열의 경우, 절편 $ \overline{b}_e $ 는 생성행렬의 Drazin 역행렬을 사용하여 명시적으로 유도되었으며, 이는 시스템 파라미터에 비선형적인 의존성을 보이며 BRAVO 효과에 대한 통찰을 제공한다.
• M/G/1 대기열의 경우, 절편 $ \overline{b}_e $ 는 서비스 시간 분포의 첫 세 모멘트로 표현되며, 이 공식은 제곱된 변동계수 $ c^2 $ 와 왜도 $ \gamma $ 에 따라 달라진다.
• M/G/1 대기열에서 도착 수 $ A(t) $ 와 대기열 길이 $ Q(t) $ 간의 점근적 공분산은 $ \frac{\rho}{(1-\rho)^2}\left(1 + (c^2 - 1)\frac{\rho(2 - \rho)}{2}\right) $ 로 나타나며, M/M/1의 경우 $ \frac{\rho}{(1-\rho)^2} $ 로 단순화된다.
• M/M/1/K 대기열의 경우, $ c^2 \leq 3 $ 일 때 절편이 음수이며, 이는 분산 증가가 초기에는 선형보다 느리다는 것을 의미한다. 또한 임계 부하 $ \lambda \approx \mu $ 근처에서 절편의 급격한 증가가 관찰되며, 이는 BRAVO 효과를 반영한다.
• 서비스 시간의 유한한 세 번째 모멘트를 가정할 경우 M/G/1 대기열의 절편 $ \overline{b}_e $ 는 유한하며, 이는 $ \rho $, $ c^2 $, $ \gamma $ 에 따라 결정되는 공식을 제공한다.
• 본 연구는 두 가지 열린 문제를 규명한다: 분산 곡선을 통한 M/M/1 대기열의 특징화에 대한 Daley의 추측을 증명하는 것, 그리고 $ \rho > 1 $ 일 때 $ \overline{b}_\theta $ 의 닫힌 형식 표현을 도출하는 것.