[论文解读] The shape functions of certain exactly solvable inhomogeneous planar corner growth models

Elnur Emrah|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文推导了两种具有独立同分布指数和几何等待时间的非均匀平面角生长模型的形状函数的变分公式，其中参数依赖于行和列索引。对于随机参数 (a_n) 和 (b_n) 的典型实现，在特定边缘分布 P 和 Q 下，作者获得了闭式表达式。

ABSTRACT

We consider two kinds of inhomogeneous corner growth models with independent waiting times {W(i, j): i, j positive integers}: (1) W(i, j) is distributed exponentially with parameter a_i+b_j for each i, j. (2) W(i, j) is distributed geometrically with fail parameter a_ib_j for each i, j. The parameters (a_n) and (b_n) are randomly chosen at the outset from a joint distribution that is stationary with respect to the nonnegative shifts and ergodic (separately) with respect to the positive shifts of the indices. Let P and Q denote the marginal distributions of (a_n) and (b_n), respectively. We obtain variational formulas in terms of P and Q for the shape functions of models (1) and (2) for typical realizations of (a_n) and (b_n). We identify certain choices of P and Q for which these formulas yield closed-form expressions for the shape function.

研究动机与目标

• 分析具有空间变化等待时间分布的非均匀角生长模型的大尺度行为。
• 在两种不同模型中刻画形状函数——即首达时间的渐近增长速率——的行为。
• 根据随机参数 (a_n) 和 (b_n) 的边缘分布 P 和 Q，推导形状函数的显式表达式。
• 识别出能使形状函数获得闭式解的特定 P 和 Q 选择。
• 在参数序列满足遍历性和平稳性假设的前提下，建立形状函数的存在性及其形式。

提出的方法

• 模型 (1) 使用独立的指数等待时间 W(i,j)，其速率为 a_i + b_j；模型 (2) 使用失败概率为 a_i b_j 的几何等待时间。
• 参数 (a_n) 和 (b_n) 是分别从平稳且遍历的分布 P 和 Q 中独立同分布抽取的序列。
• 通过依赖于 (a_n) 和 (b_n) 联合分布的变分公式推导形状函数，利用了遍历性和平稳性。
• 作者应用大偏差原理和次可加遍历理论来证明形状函数的存在性及其形式。
• 通过在特定选择的 P 和 Q 下求解变分公式，获得闭式表达式，例如指数分布或贝塔分布。
• 该方法依赖于对称性和标度论证，将问题简化为对分布 P 和 Q 的一维优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在等待时间依赖于行和列参数的非均匀角生长模型中，首达时间的渐近形状是什么？
• RQ2 在指数模型中，形状函数如何依赖于随机参数 (a_n) 和 (b_n) 的联合分布？
• RQ3 在特定参数分布下，能否为几何等待时间模型中的形状函数推导出闭式表达式？
• RQ4 参数 (a_n) 和 (b_n) 的边缘分布 P 和 Q 满足何种条件时，能使形状函数的解具有可处理性？
• RQ5 参数序列的遍历性和平稳性如何影响形状函数的存在性及其形式？

主要发现

• 指数模型的形状函数由涉及参数 (a_n) 和 (b_n) 的分布 P 和 Q 的变分公式给出。
• 对于几何模型，形状函数同样以依赖于 P 和 Q 的变分公式形式表达。
• 在特定选择的 P 和 Q 下——如指数分布或贝塔分布——推导出了形状函数的闭式表达式。
• 由于遍历性，形状函数对随机参数的典型实现是良好定义且确定性的。
• 变分公式为经典 i.i.d. 角生长模型向非均匀情形的非平凡推广。
• 结果建立了参数序列边缘分布与模型宏观增长行为之间的严格联系。