[논문 리뷰] The Singular Structure and Regularity of Stationary and Minimizing Varifolds

Aaron Naber, Daniele Valtorta|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 27.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 15인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 평균 곡률가bound된 정수 변형도의 특이층 $ S^k(I) $—특히 정적 및 최소화 변형도의 경우—가 $ k $-직선적임을 증명하며, $ k $-거의곳곳의 점에서 유일한 $ k $-평면을 갖는다. 또한 정규화 척도와 제2 기본형식에 대해 날카운 $ L^7_{\text{weak}} $ 추정을 증명하고, 고차원에서의 최소화 초곡면에 응용한다.

ABSTRACT

If one considers an integral varifold $I^m\subseteq M$ with bounded mean curvature, and if $S^k(I)\equiv\{x\in M: ext{ no tangent cone at $x$ is }k+1 ext{-symmetric}\}$ is the standard stratification of the singular set, then it is well known that $\dim S^k\leq k$. In complete generality nothing else is known about the singular sets $S^k(I)$. In this paper we prove for a general integral varifold with bounded mean curvature, in particular a stationary varifold, that every stratum $S^k(I)$ is $k$-rectifiable. In fact, we prove for $k$-a.e. point $x\in S^k$ that there exists a unique $k$-plane $V^k$ such that every tangent cone at $x$ is of the form $V imes C$ for some cone $C$. In the case of minimizing hypersurfaces $I^{n-1}\subseteq M^n$ we can go further. Indeed, we can show that the singular set $S(I)$, which is known to satisfy $\dim S(I)\leq n-8$, is in fact $n-8$ rectifiable with uniformly finite $n-8$ measure. An effective version of this allows us to prove that the second fundamental form $A$ has apriori estimates in $L^7_{weak}$ on $I$, an estimate which is sharp as $|A|$ is not in $L^7$ for the Simons cone. In fact, we prove the much stronger estimate that the regularity scale $r_I$ has $L^7_{weak}$-estimates. The above results are in fact just applications of a new class of estimates we prove on the quantitative stratifications $S^k_{ε,r}$ and $S^k_ε\equiv S^k_{ε,0}$. Roughly, $x\in S^k_ε\subseteq I$ if no ball $B_r(x)$ is $ε$-close to being $k+1$-symmetric. We show that $S^k_ε$ is $k$-rectifiable and satisfies the Minkowski estimate $Vol(B_r\,S_ε^k)\leq C_εr^{n-k}$. The proof requires a new $L^2$-subspace approximation theorem for integral varifolds with bounded mean curvature, and a $W^{1,p}$-Reifenberg type theorem proved by the authors in \cite{NaVa+}.

연구 동기 및 목표

• 평균 곡률가bound된 정수 변형도에서 특이집합의 기하학적 구조에 대한 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.
• 모든 특이층 $ S^k(I) $가 완전한 대칭성이나 최소성 조건이 없더라도 $ k $-직선적임을 증명하기 위해.
• 최소화 초곡면에서 정규화 척도와 제2 기본형식에 대해 날카운 $ L^7_{\text{weak}} $ 추정을 증명하기 위해.
• 특이집합의 크기와 구조를 분석하기 위해 새로운 양적 분류 프레임워크 $ S^k_{\epsilon,r} $ 를 개발하기 위해.
• 기존의 Reifenberg 정리의 $ W^{1,p} $-정규성으로의 확장과, 변형도에 대해 새로운 $ L^2 $-부분공간 근사 정리 증명하기 위해.

제안 방법

• 정량적 분류 $ S^k_{\epsilon,r} $ 를 도입하여, $ x \in S^k_{\epsilon,r} $ 이면 어떤 구 $ B_r(x) $ 도 $ k+1 $-대칭에 $ \epsilon $-근접하지 않는 것으로 정의한다.
• $ S^k_{\epsilon} $ 가 $ k $-직선적임을 증명하고, 미량 측도 추정 $ \text{Vol}(B_r S^k_\epsilon) \leq C_\epsilon r^{n-k} $ 를 확립한다.
• 평균 곡률가bound된 정수 변형도에 대해 새로운 $ L^2 $-부분공간 근사 정리를 확립한다.
• [NVa] 에서의 $ W^{1,p} $-Reifenberg 유형 정리를 적용하여 근사 부분공간의 정규성 제어를 한다.
• 이산 Reifenberg 유형 구성과 함께 귀납적 커버링 추론을 사용하여 체적 및 측도 추정을 증명한다.
• $ \epsilon $-정규성 정리와 단조성 조건을 활용하여 정량적 분류를 고전적 특이층 $ S^k(I) $ 와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평균 곡률가bound된 정수 변형도의 특이층 $ S^k(I) $ 는 $ k $-직선적인가?
• RQ2 $ k $-거의곳곳의 $ x \in S^k(I) $ 에 대해, 모든 접선 콘의 형태가 $ V^k \times C $ 인 유일한 $ k $-평면 $ V^k \subseteq T_xM $ 가 존재하는가?
• RQ3 최소화 초곡면에서 정규화 척도와 제2 기본형식에 대해 날카운 $ L^7_{\text{weak}} $ 추정을 확립할 수 있는가?
• RQ4 최소화 초곡면의 특이집합 $ S(I) $ 는 $ n-8 $-직선적이고, $ n-8 $-차원 측도가 균일하게 유한한가?
• RQ5 정량적 분류 $ S^k_{\epsilon,r} $ 를 사용하여 제2 기본형식과 같은 기하학적 양에 대한 효과적인 $ L^p $-추정을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 평균 곡률가bound된 정수 변형도의 특이층 $ S^k(I) $ 는 모든 $ k $ 에 대해 $ k $-직선적이다.
• $ k $-거의곳곳의 $ x \in S^k(I) $ 에 대해, 모든 접선 콘의 형태가 어떤 콘 $ C $ 에 대해 $ V^k \times C $ 인 유일한 $ k $-평면 $ V^k \subseteq T_xM $ 가 존재한다.
• 최소화 초곡면 $ I^{n-1} \subseteq M^n $ 에서 특이집합 $ S(I) $ 는 $ n-8 $-직선적이고, $ n-8 $-차원 측도가 균일하게 유한하다.
• 정규화 척도 $ r_I $ 는 $ \|r_I^{-1}\|_{L^7_{\text{weak}}} \leq C $ 를 만족하며, 이 추정은 날카로우며, Simons 콘의 반례에 의해 $ |A| \notin L^7 $ 이므로 최적임을 보여준다.
• 정량적 분류 $ S^k_\epsilon $ 는 미량 측도 추정 $ \text{Vol}(B_r S^k_\epsilon) \leq C_\epsilon r^{n-k} $ 를 만족하며, 이는 직선성의 결과이다.
• 제2 기본형식 $ A $ 는 $ \|A\|_{L^7_{\text{weak}}(I)} \leq C $ 를 만족하며, Simons 콘의 반례에 의해 이는 최적임을 보여준다.