[논문 리뷰] The Sombor index of trees and unicyclic graphs with given matching number

Ting Zhou, Zhen Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 08.

Graph theory and applications참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 순서 $ n $ 와 고정된 매칭 수 $ m $ 를 가진 모든 그래프 중에서 최대 Sombor 지수를 갖는 트리와 유일순환 그래프를 규명하며, 그 최적 구조가 각각 $ T_{n,m} $ 와 $ U_{n,m} $ 임을 증명한다. Sombor 지수는 고도수 정점들이 집중될수록 최대화되며, degree-based 최적화 및 그래프 변환 기법을 통해 최적 구조가 완전히 특성화된다.

ABSTRACT

In 2021, the Sombor index was introduced by Gutman, which is a new degree-based topological molecular descriptors. The Sombor index of a graph $G$ is defined as $SO(G) =\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{d^2_G(u)+d^2_G(v)}$, where $d_G(v)$ is the degree of the vertex $v$ in $G$. Let $\mathscr{T}_{n,m}$ and $\mathscr{U}_{n,m}$ be the set of trees and unicyclic graphs on $n$ vertices with fixed matching number $m$, respectively. In this paper, the tree and the unicyclic graph with the maximum Sombor index are determined among $\mathscr{T}_{n,m}$ and $\mathscr{U}_{n,m}$, respectively.

연구 동기 및 목표

• 순서 $ n $ 이고 매칭 수 $ m $ 인 모든 트리 중에서 Sombor 지수가 최대인 트리를 규명하는 것.
• 순서 $ n $ 이고 매칭 수 $ m $ 인 모든 유일순환 그래프 중에서 Sombor 지수가 최대인 유일순환 그래프를 규명하는 것.
• 주어진 조건 하에서 Sombor 지수를 최대화하는 최적 구조인 $ T_{n,m} $ 와 $ U_{n,m} $ 를 특성화하는 것.
• 매칭 수가 고정된 트리와 유일순환 그래프에 대한 Sombor 지수의 날카운 상한을 확립하는 것.

제안 방법

• Sombor 지수는 $ SO(G) = \nsum_{uv ∈ E(G)} \sqrt{d_G(u)^2 + d_G(v)^2} $ 로 정의되며, degree 기반의 위상적 기술자이다.
• 고도수 정점을 집중시키기 위해 간선을 이동시켜 Sombor 지수를 증가시키는 그래프 변환 기법을 사용한다.
• 증명은 간선을 저도수 정점에서 고도수 정점으로 이동시키면 Sombor 지수가 증가한다는 것을 보여주는 보조정리 2.3에 기반한다.
• 기저 사례가 $ n = 2m $ 에서 검증된 바탕으로, $ n $ 과 $ m $ 에 대한 귀납법을 적용하여 최적성의 성립을 증명한다.
• 함수 $ h_1(x) = \sqrt{x^2 + a} - \sqrt{(x-1)^2 + a} $ 과 $ h_2(x) = \sqrt{x^2 + b^2} - \sqrt{x^2 + (b-1)^2} $ 의 단조성 분석을 통해 지수 기여도를 비교한다.
• 최적 구조 $ T_{n,m} $ 와 $ U_{n,m} $ 는 중심 정점 또는 고리에 펜던트 정점과 경로를 부착하여 구성된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 $ n $ 이고 매칭 수 $ m $ 인 트리 중에서 Sombor 지수를 최대화하는 트리는 무엇인가?
• RQ2 순서 $ n $ 이고 매칭 수 $ m $ 인 유일순환 그래프 중에서 Sombor 지수를 최대화하는 유일순환 그래프는 무엇인가?
• RQ3 매칭 수가 고정된 조건 하에서 Sombor 지수의 최적 구조를 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ4 도수 분포와 간선 구성은 트리와 유일순환 그래프의 Sombor 지수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 별 $ S_{n-m+1} $ 의 비중앙 정점에 $ m-1 $ 개의 펜던트 정점을 부착하여 만든 트리 $ T_{n,m} $ 는 $ \mathscr{T}_{n,m} $ 내의 모든 트리 중에서 최대 Sombor 지수를 달성한다.
• $ C_3 $ 의 한 정점에 $ n-2m+1 $ 개의 펜던트 정점과 $ m-2 $ 개의 경로 $ P_2 $ 를 부착하여 만든 유일순환 그래프 $ U_{n,m} $ 는 $ \mathscr{U}_{n,m} $ 내의 모든 유일순환 그래프 중에서 최대 Sombor 지수를 달성한다.
• 트리의 최대 Sombor 지수는 $ (n-2m+1)\sqrt{(n-m)^2 + 1} + (m-1)\sqrt{(n-m)^2 + 4} + (m-1)\sqrt{5} $ 이며, 이는 $ T \cong T_{n,m} $ 일 때에만 성립한다.
• 유일순환 그래프의 최대 Sombor 지수는 $ m\sqrt{(n-m+1)^2 + 4} + (n-2m+1)\sqrt{(n-m+1)^2 + 1} + \sqrt{5}(m-2) + \sqrt{8} $ 이며, 이는 $ U \cong U_{n,m} $ 일 때에만 성립한다.
• 상한에 대한 등호는 정확히 그래프가 $ T_{n,m} $ 또는 $ U_{n,m} $ 와 동형일 때 성립하며, 이는 최적성의 정당성을 확인한다.