[논문 리뷰] The Sombor index of trees and unicyclic graphs with given maximum degree

Ting Zhou, Zhen Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 14.

Graph theory and applications인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 순서 $n$ 과 최대 차수 $Δ$ 를 갖는 모든 그래프 중에서 최소 Sombor 지수를 갖는 트리와 유일순환 그래프를 규명한다. 구조적 그래프 변환과 차수 기반 최적화를 통해, 극값 그래프가 $T_{n,\Delta}$ (중심 정점의 차수가 $Δ$ 인 특정 트리) 와 $U_{n,\Delta}$ (3순환과 매달린 경로를 갖는 유일순환 그래프) 임을 증명하며, 주어진 차수 제약 조건 하에서 최소 Sombor 지수를 달성한다.

ABSTRACT

Let $d_G(v)$ be the degree of the vertex $v$ in a graph $G$. The Sombor index of $G$ is defined as $SO(G) =\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{d^2_G(u)+d^2_G(v)}$, which is a new degree-based topological index introduced by Gutman. Let $\mathscr{T}_{n,Δ}$ and $\mathscr{U}_{n,Δ}$ be the set of trees and unicyclic graphs with $n$ vertices and maximum degree $Δ$, respectively. In this paper, the tree and the unicyclic graph with minimum Sombor index among $\mathscr{T}_{n,Δ}$ and $\mathscr{U}_{n,Δ}$ are characterized.

연구 동기 및 목표

• 최대 차수가 $\Delta$ 인 모든 $n$-정점 트리 중에서 Sombor 지수가 최소인 트리를 규명하는 것.
• 최대 차수가 $\Delta$ 인 모든 $n$-정점 유일순환 그래프 중에서 Sombor 지수가 최소인 유일순환 그래프를 규명하는 것.
• 구조적 최적화 기법을 사용하여 $\mathscr{T}_{n,\Delta}$ 와 $\mathscr{U}_{n,\Delta}$ 의 극값 그래프를 특성화하는 것.
• Sombor 지수에 대한 $n$ 과 $Δ$ 에 대한 명시적 하한을 제공하며, 등호 조건을 제시하는 것.

제안 방법

• 저자는 Sombor 지수를 $SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} \sqrt{d_G(u)^2 + d_G(v)^2}$ 로 정의하며, 이는 차수 기반의 위상적 지표이다.
• 그래프 변환 연산 $\mathbf{A}_1$ 과 $\mathbf{A}_2$ 를 사용하여 반복적으로 그래프를 수정함으로써, $n$ 과 $Δ$ 를 유지하면서 Sombor 지수를 감소시킨다.
• 구조적 주장은 모순에 의한 증명을 통해 증명된다: 비극값 그래프를 가정하면, 더 작은 Sombor 지수를 갖는 변환을 통해 모순이 발생한다.
• 극값 그래프 $T_{n,\Delta}$ 와 $U_{n,\Delta}$ 는 중심 정점 또는 3순환에 경로와 매달린 간선을 첨부하여 구성된다.
• 두 가지 극값 구조를 구분하기 위해 $Δ$ 를 $\lfloor (n-1)/2 \rfloor$ 과 $\lfloor (n+1)/2 \rfloor$ 과 비교한 경우 분석을 수행한다.
• 직접 계산을 통해 $SO(T_{n,\Delta})$ 와 $SO(U_{n,\Delta})$ 의 명시적 공식을 유도하고 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 차수가 $\Delta$ 인 모든 $n$-정점 트리 중에서 Sombor 지수가 최소인 트리는 무엇인가?
• RQ2 최대 차수가 $\Delta$ 인 모든 $n$-정점 유일순환 그래프 중에서 Sombor 지수가 최소인 유일순환 그래프는 무엇인가?
• RQ3 Sombor 지수의 극값 구조는 $\Delta$ 가 $n$ 과 비교하여 어떤 값일 때 달라지는가?
• RQ4 화학적 트리와 최대 차수가 $\Delta = 3$ 또는 $4$ 인 유일순환 그래프에서 Sombor 지수가 언제 최소가 되는가?

주요 결과

• 모든 $3 \leq \Delta \leq \lfloor (n-1)/2 \rfloor$ 에 대해, 트리 중 최소 Sombor 지수를 갖는 그래프는 $\Delta$ 개의 다리가 각각 길이 3 이상인 스팼드 트리 $T_\Delta$ 로 달성된다.
• $\lfloor (n-1)/2 \rfloor < \Delta \leq n-2$ 인 경우, 트리 중 최소 Sombor 지수를 갖는 그래프는 중심 정점의 차수가 $\Delta$ 이고 $n-\Delta-1$ 개의 매달린 간선을 갖는 $T_{n,\Delta}$ 로 달성된다.
• 모든 $3 \leq \Delta \leq \lfloor (n+1)/2 \rfloor$ 에 대해, 유일순환 그래프 중 최소 Sombor 지수를 갖는 그래프는 3순환과 한 정점에 매달린 $\Delta-2$ 개의 길이 2 이상의 경로를 갖는 $U_\Delta$ 로 달성된다.
• $\lfloor (n+1)/2 \rfloor < \Delta \leq n-2$ 인 경우, 유일순환 그래프 중 최소 Sombor 지수를 갖는 그래프는 3순환과 한 정점에 매달린 $n-\Delta-1$ 개의 길이 2의 경로를 갖는 $U_{n,\Delta}$ 로 달성된다.
• $T_{n,\Delta}$ 의 Sombor 지수는 $\Delta\sqrt{\Delta^2 + 4} + \sqrt{8}(n - 2\Delta - 1) + \sqrt{5}\Delta$ 이며, 등호가 성립하는 것은 $T \cong T_{n,\Delta}$ 인 경우에 한한다.
• $U_{n,\Delta}$ 의 Sombor 지수는 $(n - \Delta + 1)\sqrt{\Delta^2 + 4} + (2\Delta - n - 1)\sqrt{\Delta^2 + 1} + \sqrt{5}(n - \Delta - 1) + \sqrt{8}$ 이며, 등호가 성립하는 것은 $U \cong U_{n,\Delta}$ 인 경우에 한한다.