[논문 리뷰] The Standard Model, The Exceptional Jordan Algebra, and Triality

Latham Boyle|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 29.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 7인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 복소화된 특이 제이슨 대수 h3C(O)를 표준모형, 좌우 대칭 확장, 그리고 Spin(10)과 연결시키며, 페르미온 내용이 복소 옥토니온 프로젝티브 평면의 접선 공간으로서 등장하고 세 대가 SO(8)의 트라이얼리티와 연결된다고 주장한다.

ABSTRACT

Jordan, Wigner and von Neumann classified the possible algebras of quantum mechanical observables, and found they fell into 4 "ordinary" families, plus one remarkable outlier: the exceptional Jordan algebra. We point out an intriguing relationship between the complexification of this algebra and the standard model of particle physics, its minimal left-right-symmetric $SU(3) imes SU(2)_{L} imes SU(2)_{R} imes U(1)$ extension, and $Spin(10)$ unification. This suggests a geometric interpretation, where a single generation of standard model fermions is described by the tangent space $(\mathbb{C}\otimes\mathbb{O})^{2}$ of the complex octonionic projective plane, and the existence of three generations is related to $SO(8)$ triality.

연구 동기 및 목표

• 표준모형 게이지 군이 특이 대수 구조에서 자연스럽게 유도될 수 있는지에 대한 동기를 제시한다.
• 특이 제이슨 대수의 복소화가 G_SM과 rho_SM의 좌우 대칭 프레임워크 내 자연스러운 매핑을 제공한다고 제시한다.
• SM 페르미온을 복소 옥토니온 프로젝티브 평면의 접선 공간으로 기하적으로 해석하고 세 대를 트라이얼리티와 연계한다.

제안 방법

• 유클리드 제이슨 대수의 Jordan–Wigner–von Neumann 분류와 특이 h3(O)의 역할을 검토한다.
• 복소화 h3C(O)를 도입하고, F4의 H1, H2에 상응하는 E6 내의 서브그룹 tilde{H}_1 및 tilde{H}_2를 정의한다.
• LR-대칭 게이지 군 G_LR를 tilde{H}_1 ∩ tilde{H}_2로 식별하고 그것이 [SU(3)×SU(2)_L×SU(2)_R×U(1)]/Z6와 같음을 보인다.
• E6의 27과 Spin(10) 하에서의 분해를 통해 16-plets를 생성하고, 이를 G_LR에 제한하여 rho_LR를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소화 h3C(O)가 표준모형 게이지 군 및 페르미온 표현의 자연스러운 매핑을 제공할 수 있는가?
• RQ2 tilde{H}_1 ∩ tilde{H}_2가 G_LR와 rho_LR 표현을 재현하여 LR-대칭 통합의 기하학적 기원을 제공하는가?
• RQ3 SO(8) 트라이얼리티를 3개의 페르미온 대의 존재와 연결하는 기하학적 메커니즘이 있는가?
• RQ4 매직 스퀘어가 SM 페르미온을 복소 옥토니온 프로젝티브 평면의 접선 공간으로 재해석하는 방법은 무엇인가?

주요 결과

• tilde{H}_1 ∩ tilde{H}_2 in E6가 LR 게이지 군 G_LR, [SU(3)×SU(2)_L×SU(2)_R×U(1)]/Z6와 같다.
• E6의 27가 Spin(10) 하에서 1⊕10⊕16로 분해되며, 16이 G_LR에 제한될 때 LR 페르미온 내용을 형성한다.
• LR 군 하에서 16은 (3,2,1,+1/6)⊕(3̄,1,2,−1/6)⊕(1,2,1,−1/2)⊕(1,1,2,+1/2)로 분해되며, 제안된 LR 페르미온 표현 ρ_LR과 일치한다.
• 복소 옥토니온 프로젝티브 평면의 접선 공간(C⊗O)P^2, 즉 (C⊗O)^2가 Spin(10)의 16과 LR 및 SM 표현들을 적절한 제한 하에 제공합니다.
• 이 프레임워크는 세 대 개념을 SO(8) 트라이얼리티와 E6의 매직 스퀘어 관점과 연결지어 세대 구조의 기하학적 기원을 시사한다.