[논문 리뷰] The stationary measure of a space-inhomogeneous quantum walk on the line

Takako Endo, Norio Konno|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 13인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 원점에 단일 위상 결함이 있는 직선 상의 공간 비균일한 양자 산책인 Wojcik 모델의 정적 측도를 조사한다. 분할 생성함수 방법(SGF 방법)을 사용하여 위치에 대해 지수 감소하는 대칭적인 명시적 정적 측도를 유도함으로써, 초기 코인 상태에 따라 달라지는 국소화 현상을 확인하고, Wojcik 등 이전 연구 결과와의 일치를 검증한다.

ABSTRACT

We study a discrete-time quantum walk (QW) on the line with a single phase at the origin which was introduced and studied by Wojcik et al.[1]. We call the model "Wojcik model" here. Konno et al.[2] investigated other types of QWs with one defect at the origin. They presented a method which gives the stationary measure corresponding to localization for the QWs by use of the generating functions splitted in positive and negative parts respectively. In this paper, we call the method "the splitted generating function method (the SGF method)". To clarify in detail which QW is appropriate for the method in the case of study is one of the important challenges to investigate localization properties for various QWs. As for the Wojcik model, we solve the eigenvalue problem by the SGF method and our results agree with Ref.[1]. From the solution of the problem, we derive a stationary measure with an exponential decay for the position. The explicit expression for the stationary measure is symmetric for the origin and ensures localization depending on the initial coin state.

연구 동기 및 목표

• 원점에 단일 위상 결함이 있는 이산 시간 양자 산책인 Wojcik 모델의 정적 측도를 조사하는 것.
• 국소화를 보이는 공간 비균일한 양자 산책에 대해 분할 생성함수 방법(SGF 방법)의 적용 가능성을 규명하는 것.
• 정적 측도에 대한 명시적 해석적 표현을 유도하고, 대칭성과 지수 감소 성질을 검증하는 것.
• SGF 방법의 맥락에서 초기 코인 상태가 국소화에 어떻게 영향을 미치는지 명확히 하는 것.

제안 방법

• 생성함수의 확률 진폭을 양의 부분과 음의 부분으로 분할하여 고유값 문제를 해결하기 위해 SGF 방법을 적용한다.
• 음의 축에서 왼쪽 성분에 대해 $ f^{L}_{ ext{--}}(z) $ 와 오른쪽 성분에 대해 $ f^{R}_{ ext{--}}(z) $ 를 사용하고, 양의 축에서도 유사한 형태를 적용한다.
• 시간 진동 규칙 $ \Psi_{n+1}(x) = P_{x+1}\Psi_n(x+1) + Q_{x-1}\Psi_n(x-1) $ 로부터 유도된 함수 방정식의 연립 방정식을 해결한다.
• 진폭의 점근적 행동으로부터 정적 측도를 유도하며, 고유값과 관련된 복소수 매개변수 $ \theta_s $ 를 포함한 표현을 도출한다.
• 특정 초기 상태 조건 하에서 $ \theta_s $ 를 위한 여러 표현이 동일한 결과를 도출함을 검증함으로써 일관성을 확보한다.
• 유도된 $ \lambda^2 $ 와 $ \theta_s^2 $ 의 표현이 Wojcik 등 이전 연구의 결과와 일치함을 확인함으로써 분석의 정확성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SGF 방법은 원점에 단일 결함이 있는 공간 비균일한 양자 산책, 예를 들어 Wojcik 모델에 적용 가능한가?
• RQ2 Wojcik 모델의 정적 측도의 명시적 형태는 무엇이며, 지수 감소 성질을 보이는가?
• RQ3 초기 코인 상태는 정적 측도와 국소화 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 SGF 방법은 이전 연구(예: Wojcik 등)에서 알려진 결과를 재현할 수 있는가?
• RQ5 Wojcik 모델의 맥락에서 대칭적인 정적 측도를 유도하기 위한 초기 상태의 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 정적 측도는 $ x > 0 $, $ x = 0 $, $ x < 0 $ 에 대한 유도된 진폭 표현을 통해 원점 기준 대칭임을 확인한다.
• 정적 측도는 위치에 대해 지수 감소하며, $ x \neq 0 $ 에서 진폭이 $ \theta_s^{-|x|} $ 비례함을 보이며, $ \theta_s $ 는 초기 상태로부터 유도된 복소수 매개변수이다.
• $ \beta = i\alpha $ 인 경우 $ \lambda^2 $ 는 참조문헌 [1]의 $ \lambda_- $ 와 일치하고, $ \beta = -i\alpha $ 인 경우 $ \lambda_+ $ 와 일치함을 확인하여 이전 연구와의 일관성을 입증한다.
• $ \theta_s^2 $ 는 $ \omega $ 로만 표현되며, $ \beta = i\alpha $ 에서는 $ \theta_s^2 = \frac{\omega}{\omega^2 - 3\omega + 1 - i(\omega^2 - 1)} $ 이고, $ \beta = -i\alpha $ 에서는 복소수 켤레 형태가 된다.
• 유도된 $ \theta_s^2 $ 표현은 각각 참조문헌 [1]의 식 (A13)에서 정의된 $ x_- $ 와 $ x_+ $ 와 정확히 일치하여 방법의 타당성을 검증한다.
• 정적 측도는 국소화를 확인하며, 확률 밀도가 원점에서 멀어질수록 지수적으로 감소하고, 국소화의 강도는 초기 코인 상태에 따라 달라진다.