[논문 리뷰] The statistical properties of the volatility of price fluctuations

Yanhui Liu, Parameswaran Gopikrishnan외 4명|RePEc: Research Papers in Economics|1999. 03. 24.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 S&P 500 지수와 미국의 500대 대형주에서 확보한 고주기 데이터를 활용하여 금융 시장에서의 변동성의 통계적 성질을 조사한다. 변동성은 지수 1 + μ ≈ 4인 거듭제곱 법칙 분포를 따르며, 거듭제곱 법칙 감쇠를 보이는 장거리 상관관계를 보이고 시간 간격에 따라 척도가 맞춰지며, 여러 시간 척도에서 지속적인 변동성 클러스터링이 있음을 시사한다.

ABSTRACT

We study the statistical properties of volatility---a measure of how much the market is likely to fluctuate. We estimate the volatility by the local average of the absolute price changes. We analyze (a) the S&P 500 stock index for the 13-year period Jan 1984 to Dec 1996 and (b) the market capitalizations of the largest 500 companies registered in the Trades and Quotes data base, documenting all trades for all the securities listed in the three major stock exchanges in the US for the 2-year period Jan 1994 to Dec 1995. For the S&P 500 index, the probability density function of the volatility can be fit with a log-normal form in the center. However, the asymptotic behavior is better described by a power-law distribution characterized by an exponent 1 + μ\approx 4. For individual companies, we find a power law asymptotic behavior of the probability distribution of volatility with exponent 1 + μ\approx 4, similar to the S&P 500 index. In addition, we find that the volatility distribution scales for a range of time intervals. Further, we study the correlation function of the volatility and find power law decay with long persistence for the S&P 500 index and the individual companies with a crossover at approximately 1.5 days. To quantify the power-law correlations, we apply power spectrum analysis and a recently-developed modified root-mean-square analysis, termed detrended fluctuation analysis (DFA). For the S&P 500 index, DFA estimates for the exponents characterizing the power law correlations are α_1=0.66 for short time scales (within \approx 1.5 days) and α_2=0.93 for longer time scales (up to a year). For individual companies, we find α_1=0.60 and α_2=0.74, respectively. The power spectrum gives consistent estimates of the two power-law exponents.

연구 동기 및 목표

• 금융 시장에서 변동성의 통계적 분포, 특히 꼬리 행동과 척도 성질을 이해하는 것.
• 변동성이 다양한 시간 척도에서 장거리 상관관계와 지속성을 보이는지 검토하는 것.
• 금융 시장 지수와 개별 주식 간 변동성의 통계적 성질이 일관된지 평가하는 것.
• 고급 통계 기법을 적용하여 변동성 시계열의 장기 기억 효과를 정량화하는 것.

제안 방법

• 변동성은 이동 시간 창 내에서 가격 변화의 절대값의 局부 평균으로 추정된다.
• 변동성 확률 밀도 함수의 꼬리에 거듭제곱 법칙 피팅을 적용하여 지수 1 + μ를 추정한다.
• 장거리 상관관계를 정량화하기 위해 탈트렌드 플럭투에이션 분석(DFA)을 사용하며, 짧은 및 긴 시간 척도에 대한 척도 지수 α₁ 및 α₂를 추정한다.
• DFA로 확보한 척도 지수를 확인하기 위해 파wer 스펙트럼 분석을 적용한다.
• 분석은 두 데이터셋을 대상으로 수행된다: S&P 500 지수(1984–1996) 및 미국 500대 기업의 시가총액(1994–1995).
• 다양한 시간 간격에 걸쳐 변동성 분포의 척도 행동을 테스트하여 자기유사성 여부를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 금융 시장에서 변동성의 확률 분포의 기능적 형태는 무엇인가?
• RQ2 개별 주식과 광범위한 시장 지수는 변동성 분포의 통계적 성질에서 유사한가?
• RQ3 변동성 충격의 지속성은 얼마나 오래 지속되며, 거듭제곱 법칙 감쇠를 따르는가?
• RQ4 다양한 시간 수평에서 변동성 분포에 척도 행동이 존재하는가?

주요 결과

• S&P 500와 개별 주식의 변동성 확률 밀도 함수는 지수 1 + μ ≈ 4인 거듭제곱 법칙 꼬리를 따르며, 무거운 꼬리 행동을 나타낸다.
• 변동성의 상관 함수는 약 1.5일의 교차점에서 거듭제곱 법칙 감쇠를 보이며, 장거리 의존성을 시사한다.
• S&P 500의 경우, DFA는 짧은 시간 척도에서 α₁ = 0.66, 긴 시간 척도에서 α₂ = 0.93의 척도 지수를 산출하여 거듭제곱 법칙 상관관계와 일치한다.
• 개별 기업의 경우, DFA 추정치는 α₁ = 0.60 및 α₂ = 0.74이며, 유사하지만 약간 덜 강한 장기 기억 효과를 나타낸다.
• 파워 스펙트럼 분석은 DFA에서 관찰된 두 가지 별개의 척도 영역을 확인하여 결과의 강건성을 뒷받침한다.
• 변동성 분포는 다양한 시간 간격에 걸쳐 척도가 맞춰지며, 금융 변동성에서 자기유사성 또는 다중프랙탈 유사 행동을 나타낸다.