[논문 리뷰] The stochastic dynamics of early epidemics: probability of establishment, initial growth rate, and infection cluster size at first detection

Peter Czuppon, Emmanuel Schertzer외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 17.

COVID-19 epidemiological studies참고 문헌 36인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 크럼-모드-자이어스 과정과 맥케נדל릭-폰 포르스터 방정식을 기반으로 한 확률적 유행병 모델을 개발하여 초기 유행병 역학을 분석한다. 주로 유행병 정착 확률, 초기 성장률, 첫 감염 집단 크기 등을 다룬다. 연구에서는 확률적 요동이 결정론적 모델이 예측하는 것보다 더 빠른 초기 성장을 유도함을 보이며, 감지 확률과 최적의 검사 빈도에 대한 해석적 표현을 유도한다.

ABSTRACT

Emerging epidemics and local infection clusters are initially prone to stochastic effects that can substantially impact the epidemic trajectory. While numerous studies are devoted to the deterministic regime of an established epidemic, mathematical descriptions of the initial phase of epidemic growth are comparatively rarer. Here, we review existing mathematical results on the epidemic size over time, and derive new results to elucidate the early dynamics of an infection cluster started by a single infected individual. We show that the initial growth of epidemics that eventually take off is accelerated by stochasticity. These results are critical to improve early cluster detection and control. As an application, we compute the distribution of the first detection time of an infected individual in an infection cluster depending on the testing effort, and estimate that the SARS-CoV-2 variant of concern Alpha detected in September 2020 first appeared in the United Kingdom early August 2020. We also compute a minimal testing frequency to detect clusters before they exceed a given threshold size. These results improve our theoretical understanding of early epidemics and will be useful for the study and control of local infectious disease clusters.

연구 동기 및 목표

• 단일 인덱스 환자로부터의 유행병 정착 확률을 정량화함. 이때 전파 역학의 확률적 특성을 고려함.
• 유행병의 초기 확률적 성장률을 유도하고, 생존 조건 하에서 결정론적 예측을 초월함을 보임.
• 실제 검사 민감도와 시기 조건을 고려하여 첫 감지 시점에서의 감염 집단 크기의 기대값을 추정함.
• 검사 능력과 균형을 이루면서도 감지 시점의 집단 크기를 최소화하는 최적의 일일 검사 빈도를 결정함.
• 공중보건 의사결정을 위한 이론적 프레임워크를 제공함—감염 후 경과 시간, 전파 가능성, 검사 감지율 간의 관계를 연결함.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 전파 가능성과 함께 확률적 전파를 모델링하기 위해 크럼-모드-자이어스 분열 과정을 사용함.
• 전파 수치 $ R $ 과 전파율 밀도 $ \mu(a) $ 로 전파를 분리함. 여기서 $ a $ 는 감염 후 경과 시간임.
• 스토케스틱 과정의 결정론적 극한을 묘사하기 위해 맥케נדל릭-폰 포르스터 편미분 방정식을 적용함.
• 감염 후 경과 시간의 정적 분포를 Malthusian 성장률 $ r $ 을 비율로 가지는 지수분포로 유도함.
• 감지 확률을 계산하기 위해 감염 후 경과 시간 분포 위에 검사 민감도 함수 $ Q(a) $ 를 통합함.
• 일일 검사를 통해 집단 감지를 모델링하고, $ Q(a) $ 로부터 유도된 감지 확률을 사용함. 또한 복귀 이론을 적용하여 감지 시점의 기대 집단 크기를 계산함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 인덱스 환자가 지속적인 지역 유행 집단을 유발할 확률은 얼마인가?
• RQ2 감염 수치 $ R $ 을 기반으로 한 결정론적 예측과 비교할 때, 유행병의 초기 확률적 성장률은 어떻게 다른가?
• RQ3 다양한 검사 빈도에서 첫 감지 시점에서의 감염 집단 크기의 기대값은 얼마인가?
• RQ4 감염 후 경과 시간과 유행병 성장률에 따라 감염자의 감지 확률은 어떻게 변하는가?
• RQ5 감지 시점의 집단 크기를 최소화하면서도 운영 가능성을 유지하는 일일 검사 빈도는 무엇인가?

주요 결과

• 확률적 요동은 결정론적 예측에서 systematic하게 벗어나며, $ R $ 만으로 예측되는 것보다 더 빠른 초기 유행병 성장을 초래함.
• $ R = 2.9 $ 인 경우, 빠른 검사로 감염자를 감지할 확률은 약 25.5%이며, RT-PCR 검사의 경우 29%로 추정됨. 단, 감염 후 14일 이내로 한정함.
• $ R = 1.3 $ 인 느린 성장 유행병의 경우, RT-PCR 감지율은 48%로 증가함. 이는 느린 전파 체인에서 감지 가능 기간이 더 길기 때문임.
• 스토케스틱 시뮬레이션 결과와 비교했을 때, 이론적 예측은 감지 시점의 집단 크기를 略로 과대평가하지만, 검사 빈도 증가가 기대 집단 크기를 기하급수적으로 감소시킨다는 경향은 일치함.
• 빠른 검사의 경우, 높은 민감도 기간이 짧아 $ R $ 의 변화에 대해 감지 확률이 뚜렷이 민감하지 않지만, RT-PCR의 경우 더 긴 감지 가능 기간으로 인해 $ R $ 에 더 민감함.
• 조기 감지와 검사 시스템 용량 간 균형을 이루는 잠재적 최적의 검사 빈도가 존재하며, 이는 감지 시점의 집단 크기를 최소화함.