[论文解读] The Structure of Models of Second-order Set Theories

Kameryn J. Williams|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文研究二阶集合论系统（包括 $\mathsf{GBC}$、$\mathsf{KM}$ 及其相关系统）的模型结构。研究发现，一个可数 $\mathsf{ZFC}$ 模型的 $T$- 实现的偏序集具有高度复杂性——可嵌入任意可数偏序集——同时证明了较弱的理论如 $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}}$ 拥有最小传递模型，而更强的理论如 $\mathsf{KM}$ 则没有，揭示了与二阶算术之间的显著对比。

ABSTRACT

This dissertation is a contribution to the project of second-order set theory, which has seen a revival in recent years. The approach is to understand second-order set theory by studying the structure of models of second-order set theories. The main results are the following, organized by chapter. First, I investigate the poset of $T$-realizations of a fixed countable model of $\mathsf{ZFC}$, where $T$ is a reasonable second-order set theory such as $\mathsf{GBC}$ or $\mathsf{KM}$, showing that it has a rich structure. In particular, every countable partial order embeds into this structure. Moreover, we can arrange so that these embedding preserve the existence/nonexistence of upper bounds, at least for finite partial orders. Second I generalize some constructions of Marek and Mostowski from $\mathsf{KM}$ to weaker theories. They showed that every model of $\mathsf{KM}$ plus the Class Collection schema "unrolls" to a model of $\mathsf{ZFC}^-$ with a largest cardinal. I calculate the theories of the unrolling for a variety of second-order set theories, going as weak as $\mathsf{GBC} + \mathsf{ETR}$. I also show that being $T$-realizable goes down to submodels for a broad selection of second-order set theories $T$. Third, I show that there is a hierarchy of transfinite recursion principles ranging in strength from $\mathsf{GBC}$ to $\mathsf{KM}$. This hierarchy is ordered first by the complexity of the properties allowed in the recursions and second by the allowed heights of the recursions. Fourth, I investigate the question of which second-order set theories have least models. I show that strong theories---such as $\mathsf{KM}$ or $Π^1_1 ext{-}\mathsf{CA}$---do not have least transitive models while weaker theories---from $\mathsf{GBC}$ to $\mathsf{GBC} + \mathsf{ETR}_\mathrm{Ord}$---do have least transitive models.

研究动机与目标

• 通过分析固定可数 $\mathsf{ZFC}$ 模型的 $T$- 实现的偏序集，理解二阶集合论模型的结构。
• 将 $\mathsf{KM}$ 的展开构造推广至更弱的理论，包括 $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$，并计算由此产生的理论。
• 厘清从 $\mathsf{GBC}$ 到 $\mathsf{KM}$ 的无穷递归原理的层次结构，按性质复杂度与递归高度排序。
• 确定哪些二阶集合论系统拥有最小传递模型，识别强理论与弱理论之间的明确分界。

提出的方法

• 分析可数 $\mathsf{ZFC}$ 模型的 $T$- 实现的偏序集（如 $\mathsf{GBC}$ 和 $\mathsf{KM}$ 等理论 $T$），证明其可嵌入任意可数偏序集。
• 对 $T$ 的模型应用展开构造，将其转化为 $\mathsf{ZFC}^{-}$ 的模型，并带有最大基数，将马雷克与莫斯托夫斯基的结果推广至更弱的理论。
• 在类中使用截断与可构造宇宙构造，分析最小模型与 $\beta$- 模型。
• 基于性质复杂度与递归高度，引入无穷递归原理的层级结构。
• 应用非标准紧致性与可 admit 覆盖技术，分析 $\beta$- 模型与良基类。
• 证明 $T$- 实现性对广泛类别的二阶集合论系统，对子模型具有向下绝对性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些二阶集合论系统拥有最小传递模型？该性质的特征是什么？
• RQ2 对于固定可数 $\mathsf{ZFC}$ 模型，$\mathsf{GBC}$ 和 $\mathsf{KM}$ 等理论的 $T$- 实现的偏序集有多复杂？
• RQ3 展开构造在多大程度上可从 $\mathsf{KM}$ 推广至更弱的理论，如 $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$？
• RQ4 从 $\mathsf{GBC}$ 到 $\mathsf{KM}$，无穷递归原理的强度如何变化？其层级结构由什么决定？
• RQ5 二阶算术与二阶集合论在最小模型与 $\operatorname{Hyp}(V)$ 的可定义性方面，存在哪些类比与非类比？

主要发现

• 一个可数 $\mathsf{ZFC}$ 模型的 $T$- 实现的偏序集具有高度复杂性：任意可数偏序集均可嵌入其中，且该嵌入保持有限偏序集上界存在性或非存在性的性质。
• $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}}$ 理论拥有最小传递模型，而更强的理论如 $\mathsf{KM}$ 或 $\Pi_{1}^{1}\text{-}\mathsf{CA}$ 则没有最小传递模型。
• 对 $\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$ 模型的展开可得到一个带有最大基数的 $\mathsf{ZFC}^{-}$ 模型，且对一系列二阶集合论系统，已计算出其结果理论。
• 无穷递归原理形成严格层级：$\mathsf{GBC} \ll \mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}} \ll \cdots \ll \mathsf{KM}$，按递归复杂度与高度排序。
• 良序性质在集合论中是一阶的，但在算术中是二阶的，这解释了关键的非类比之处——例如，$\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}$ 足够编码 $\operatorname{Hyp}(V)$，但 $\mathsf{ATR}_0$ 不足。
• 尽管 $\mathsf{ATR}_0$ 既无最小 $\omega$- 模型也无最小 $\beta$- 模型，$\mathsf{GBC}+\mathsf{ETR}_{\mathrm{Ord}}$ 却拥有最小 $\beta$- 模型，凸显了算术与集合论逆数学之间的根本分歧。