[논문 리뷰] The supersingular locus of the Shimura variety for GU(1,n-1) over a ramified prime

Michael Rapoport, Ulrich Terstiege외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 07.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 분할된 소수에서 GU(1,n−1)의 쇠미우라 다양체의 초특이 다양체의 구체적인 기하학적 기술을 제공하며, 그의 기약 성분들이 브루하트-티츠 건물의 몫에 의해 매개됨을 규명하고, 초특이 다양체가 심플렉틱 군에 대한 델리뉴-루스티그 다양체로 분할됨을 보여준다. 핵심 결과는 분할의 계통의 포함 복합체가 이산 군 작용 하에서 브루하트-티츠 트리의 몫과 동형임을 규명한다.

ABSTRACT

We analyze the geometry of the supersingular locus of the reduction modulo p of a Shimura variety associated to a unitary similitude group GU(1,n-1) over Q, in the case that p is ramified. We define a stratification of this locus and show that its incidence complex is closely related to a certain Bruhat-Tits simplicial complex. Each stratum is isomorphic to a Deligne-Lusztig variety associated to some symplectic group over F_p and some Coxeter element. The closure of each stratum is a normal projective variety with at most isolated singularities. The results are analogous to those of Vollaard/Wedhorn in the case when p is inert.

연구 동기 및 목표

• GU(1,n−1)의 쇠미우라 다양체의 분할된 소수에서의 초특이 다양체의 구조를 기술하기 위해.
• 이전의 비분할 소수의 기본 다양체 결과를 분할된 경우로 확장하기 위해.
• 초특이 다양체를 심플렉틱 군에 대한 델리뉴-루스티그 다양체로 분할하기 위해.
• 분할의 계통의 포함 복합체를 이산 군 작용 하에서 브루하트-티츠 건물의 몫과 동일시하기 위해.
• 군론적 및 기하학적 방법을 통해 초특이 다양체의 기약 성분과 연결 성분의 집합을 규명하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 GU(1,n−1)에 관련된 RZ 공간의 국소 모델을 사용하며, 주로 감소된 특별 섹션 $\bar{\mathcal{N}}^{0}_{\rm{red}}$ 에 초점을 맞춘다.
• 분할된 이차 확장 $E$ 위의 헤르미트 공간에서 정점 격자를 정의하며, type $t$ 는 몫 $\Lambda / \Lambda^\sharp$ 의 크기를 측정한다.
• 분할된 $\bar{\mathcal{N}}^{0}_{\rm{red}}$ 의 분할은 군 $J = \mathrm{SU}(C)$ 의 브루하트-티츠 건물에 의해 구성되며, 최대 유형의 정점 격자가 분할의 색인으로 사용된다.
• 전역 초특이 다양체 $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ 는 몫 $I^V(\mathbb{Q}) \backslash (\bar{\mathcal{N}}^{0}_{\rm{red}} \times G^V(\mathbb{A}_f^p)^o / K^p)$ 로 표현되며, 여기서 $I^V(\mathbb{Q})$ 는 구조를 보존하는 준등형사상의 군이다.
• 분할이 심플렉틱 군 $\mathrm{Sp}_{2t}$ 에 대한 $\mathbb{F}_p$ 상의 델리뉴-루스티그 다양체의 합집합과 동형임을 보여주며, $t$ 는 0에서 $t_{\rm{max}}$ 까지 변한다.
• 분할의 포함 복합체는 $\coprod_{j=1}^m \Gamma_j \backslash \mathcal{T}$ 와 동형이며, 여기서 $\mathcal{T}$ 는 브루하트-티츠 트리이고 $\Gamma_j$ 는 이산 콪팩트 부분군이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GU(1,n−1)의 쇠미우라 다양체에서 분할된 소수에서 초특이 다양체는 어떻게 구성되어 있는가?
• RQ2 정점 격자와 그 유형은 초특이 다양체의 분할을 매개하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 심플렉틱 군에 대한 델리뉴-루스티그 다양체는 초특이 다양체의 분할에서 어떻게 나타나는가?
• RQ4 분할의 포함 복합체는 무엇이며, 브루하트-티츠 건물과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 초특이 다양체의 기약 성분과 연결 성분은 어떻게 매개되는가?

주요 결과

• 초특이 다양체 $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ 는 순수한 차원 $t_{\rm{max}}/2$ 를 가지며, 여기서 $t_{\rm{max}}$ 는 정점 격자의 최대 유형이다.
• 초특이 다양체는 심플렉틱 군 $\mathrm{Sp}_{2t}$ 에 대한 $\mathbb{F}_p$ 상의 델리뉴-루스티그 다양체로 분할되며, $t$ 는 0에서 $t_{\rm{max}}$ 까지 변한다.
• 분할의 포함 복합체는 $\coprod_{j=1}^m \Gamma_j \backslash \mathcal{T}$ 와 동형이며, 여기서 $\mathcal{T}$ 는 $J = \mathrm{SU}(C)$ 의 브루하트-티츠 트리이다.
• $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ 의 기약 성분과 집합 $I^V(\mathbb{Q}) \setminus (J(\mathbb{Q}_p)^o / K_{J,p} \times G^V(\mathbb{A}_f^p)^o / K^p)$ 사이에 자연스러운 전단사 사상이 존재한다.
• $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ 의 연결 성분과 집합 $I^V(\mathbb{Q}) \setminus G^V(\mathbb{A}_f^p)^o / K^p$ 사이에 자연스러운 전단사 사상이 존재한다.
• 사상 $\Psi: \coprod_{j=1}^m \bar{\mathcal{N}}^{0}_{\rm{red}} \to \mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ 는 국소적으로 동형이며, 콤���트 부분 스킴 위에서 유한하므로, 분할이 잘 행동함을 보장한다.