[论文解读] The Tate conjecture for K3 surfaces in odd characteristic

Keerthi Madapusi Pera|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 9

一句话总结

该论文通过构造一个实现K3曲面上除子为自同态的Kuga-Satake阿贝尔簇，证明了在奇特征的有限生成域上K3曲面的Tate猜想，将该猜想约化为阿贝尔簇自同态的精化版本，随后利用Shtuka簇的整模型和晶体相容性证明了该精化版本。该方法还证明了在奇特征下，三次四超曲面的余维2循环的Tate猜想。

ABSTRACT

We show that the classical Kuga-Satake construction gives rise, away from characteristic 2, to an open immersion from the moduli of primitively polarized K3 surfaces (of any fixed degree) to a certain regular integral model for a Shimura variety of orthogonal type. This allows us to attach to every polarized K3 surface in odd characteristic an abelian variety such that divisors on the surface can be identified with certain endomorphisms of the attached abelian variety. In turn, this reduces the Tate conjecture for K3 surfaces over finitely generated fields of odd characteristic to a version of the Tate conjecture for certain endomorphisms on the attached Kuga-Satake abelian variety, which we prove. As a by-product of our methods, we also show that the moduli stack of primitively polarized K3 surfaces of degree 2d is quasi-projective and, when d is not divisible by p^2, is geometrically irreducible in characteristic p. We indicate how the same method applies to prove the Tate conjecture for co-dimension 2 cycles on cubic fourfolds.

研究动机与目标

• 证明在奇特征的有限生成域上K3曲面的Tate猜想。
• 在奇特征下，建立K3曲面上的除子与Kuga-Satake阿贝尔簇自同态之间的几何对应关系。
• 将该方法推广，以证明在奇特征下，三次四超曲面的余维2循环的Tate猜想。
• 证明当度数不被 $p^2$ 整除时，初等极化K3曲面的模堆栈在奇特征下是拟射影的且几何上不可约的。

提出的方法

• 通过将经典Kuga-Satake构造推广至奇特征，在基域的有限可分扩张上构造一个Kuga-Satake阿贝尔簇。
• 证明在K3曲面族上，Kuga-Satake构造的整晶体相容性，确保到正交Shtuka簇的周期映射是平的。
• 利用平的周期映射和Torelli定理，证明Kuga-Satake映射是开浸入，从而实现将除子提升至特征0。
• 利用特征0下的Lefschetz (1,1)定理，将K3曲面上的除子与Kuga-Satake阿贝尔簇的特殊自同态对应起来。
• 应用正交Shtuka簇的整典范模型理论，将Kuga-Satake对应关系下降至 $\mathbb{Z}[2^{-1}]$。
• 通过构造一个签名为 $(21,2)$ 的Shtuka簇上的Kuga-Satake映射，将方法推广至三次四超曲面，利用自对偶格 $M'$ 和水平结构确保平性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在奇特征下，K3曲面的Tate猜想能否约化为关于Kuga-Satake阿贝尔簇自同态的陈述？
• RQ2 在奇特征下，Kuga-Satake构造是否诱导出从极化正交补到阿贝尔簇自同态代数的典范单射？
• RQ3 当 $p^2 \nmid d$ 时，在特征 $p$ 下，度数为 $2d$ 的初等极化K3曲面的模堆栈是否几何上不可约？
• RQ4 能否将用于K3曲面的方法适配，以证明在奇特征下，三次四超曲面的余维2循环的Tate猜想？
• RQ5 在 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上的三次四超曲面背景下，Kuga-Satake周期映射到Shtuka簇是否为平的？

主要发现

• 在奇特征的有限生成域上，K3曲面的Tate猜想成立，其中 $\ell$-adic 陈类映射是同构。
• Kuga-Satake构造诱导出典范单射 $\langle\xi\rangle^\perp \hookrightarrow \operatorname{End}(A)$，将K3曲面上的除子与阿贝尔簇的特殊自同态对应起来。
• 当 $p^2 \nmid d$ 时，在特征 $p$ 下，度数为 $2d$ 的初等极化K3曲面的模堆栈是拟射影的且几何上不可约的。
• 在奇特征下，三次四超曲面的余维2循环的Tate猜想成立，其中 $\ell$-adic 循环类映射是同构。
• 三次四超曲面的Kuga-Satake周期映射是平的，且对足够小的水平结构，其到Shtuka簇整模型的诱导映射是开浸入。
• 通过利用典型三次四超曲面的稠密性论证，并推广至一般情形，建立了Kuga-Satake构造的整晶体相容性。