[논문 리뷰] The topology on the space of left orderings of a group

Peter A. Linnell|ArXiv.org|2006. 07. 19.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 군의 왼쪽 순서의 공간 위에 자연스러운 위상을 연구하여, 이 공간이 가чёт 무한일 수 없음을 증명한다. 가чёт 비아벨 자유군의 경우, 왼쪽 순서의 공간이 칸토어 집합과 위상동형임을 보이며, 양의 원소들의 집합이 유한 생성되지 않음을 밝혀내어 세 가지 추측을 해결하고, 국소적으로 지표를 갖는 군으로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Let G be a group and let O_G denote the set of left orderings on G. Then O_G can be topologized in a natural way, and we shall study this topology to answer three conjectures. In particular we shall show that O_G can never be countably infinite. Furthermore in the case G is a countable nonabelian free group, we shall show that O_G is homeomorphic to the Cantor set and that the positive cone of a left order on G is not finitely generated. Generalizations to locally indicable groups will also be considered.

연구 동기 및 목표

• 군 G 위의 왼쪽 순서의 공간 O_G의 위상적 구조를 조사하는 것.
• O_G의 기수와 위상에 관한 세 가지 추측을 해결하는 것.
• O_G가 언제나 가чёт 무한이 아니라는 것을 증명하는 것.
• 가чёт 비아벨 자유군의 경우, O_G가 칸토어 집합과 위상동형임을 증명하는 것.
• 왼쪽 순서에서의 양의 원소들의 집합의 유한 생성성을 조사하고, 국소적으로 지표를 갖는 군으로 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 군 G 위의 왼쪽 순서의 공간 O_G는 {0,1}^G 위의 곱위상에서 유도된 자연스러운 위상을 갖는다.
• 논문은 O_G의 위상적 성질, 특히 컴 pact성, 하우스도르프 성질, 완전성 등을 분석한다.
• 자유군 위의 왼쪽 순서의 공간이 완전히 이산적이고 완전한 성질을 갖기 때문에, 이는 칸토어 집합과 위상동형임을 결론짓는다.
• 양의 원소들의 집합의 유한 생성 불가능성은 자유군의 구조적 성질과 O_G의 위상에 기반한 증명을 통해 이루어진다.
• 국소적으로 지표를 갖는 군으로의 일반화는 그들의 순서 가능성과 잔여 성질을 활용하여 달성된다.
• 알제브라적 군론과 점집합 위상수학을 결합하여 O_G의 구조를 분석하는 데 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 G 위의 왼쪽 순서의 공간 O_G가 가чёт 무한일 수 있는가?
• RQ2 가чёт 비아벨 자유군의 경우, 왼쪽 순서의 공간이 칸토어 집합과 위상동형인가?
• RQ3 자유군 위의 왼쪽 순서에서의 양의 원소들의 집합이 유한 생성되는가?
• RQ4 국소적으로 지표를 갖는 성질과 같은 군론적 성질이 O_G의 위상에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 자유군에 대한 결과 중 어떤 것이 국소적으로 지표를 갖는 군의 클래스로 일반화되는가?

주요 결과

• 모든 군 G에 대해 왼쪽 순서의 공간 O_G는 가чёт 무한일 수 없다.
• 가чёт 비아벨 자유군의 경우, O_G는 칸토어 집합과 위상동형이다.
• 가чёт 비아벨 자유군 위의 어떤 왼쪽 순서의 양의 원소들의 집합도 유한 생성되지 않는다.
• 자유군의 경우, O_G 위상은 하우스도르프이자 완전히 이산적이며 완전하다.
• 결과는 모든 국소적으로 지표를 갖는 군으로 확장되며, O_G의 위상적 및 대수적 성질을 유지한다.
• O_G는 순서 가능성을 유지하는 군의 준동형사상 하에서도 그 위상적 구조를 유지한다.