[논문 리뷰] The two-term Machin-like formula for pi with small arguments of the arctangent function

Sanjar M. Abrarov, Brendan M. Quine|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 03.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무리수 중첩 근호 표현을 유리수 근사로 변환하여, 임의로 작은 역탄젠트 항을 가진 두 항의 마친-유사 공식을 유도하는 새로운 방법을 제시한다. π/4를 분모가 유리수인 역탄젠트의 합으로 표현함으로써 수렴 속도가 크게 향상되며, k=40일 때 약 24자리의 π를 한 항당 구할 수 있다. 계산 과정에서 무리수를 사용하지 않아도 되어 계산이 단순화되고 빨라진다.

ABSTRACT

In this paper we propose a new method for determination of the two-term Machin-like formula for pi with arbitrarily small arguments of the arctangent function. This approach excludes irrational numbers in computation and leads to a significant improvement in convergence with decreasing arguments of the arctangent function.

연구 동기 및 목표

• 역탄젠트 함수의 인자 값을 임의로 작게 만들 수 있는 두 항의 마친-유사 공식을 유도하는 방법을 개발하기 위해.
• 역탄젠트 인자에서 무리수를 제거하여 π의 수치 계산을 단순화하고 가속화하기 위해.
• 중첩 근호의 유리수 근사를 활용하여 마친-유사 공식의 수렴 속도를 크게 향상시키기 위해.
• 근본적인 대수적 연산을 피하고 유리수 산술만을 사용하여 고정밀도의 π 계산을 가능하게 하기 위해.
• 고 k 값에서 쿠드노프스키 공식 수준의 수렴 속도를 이르는 것이 가능한가를 보여주기 위해.

제안 방법

• 기존의 항등식 π/4 = 2^{k-1} arctan(√(2−a_{k−1})/a_k)를 유리수 u₁을 도입하여 유리수 근사로 변환함: u₁ ≈ a_k / √(2−a_{k−1}) + ε 이며, |ε| ≪ u₁ 이다.
• π/4를 두 항의 합으로 표현하기 위해 나머지 항 Δ = arctan(1/u₂)을 도입함: 2^{k−1} arctan(1/u₁) + arctan(1/u₂), 이는 두 항의 마친-유사 공식을 형성한다.
• 복소수 대수를 통해 u₂에 대한 닫힌 형태의 유리수 표현을 유도함: u₂ = 2 / [((u₁+i)/(u₁−i))^{2^{k−1}} − i] − i, u₁이 유리수일 경우 u₂도 유리수가 되도록 보장한다.
• 복소로그함수와 식 ((β₁+i)/(β₁−i))^{α₁} ((β₂+i)/(β₂−i))^{α₂} = i 를 이용하여 두 항의 공식을 검증한다.
• arctan(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − ⋯ 의 매클로린 급수를 활용하여, |x|가 작아질수록 수렴 속도가 향상됨을 설명함으로써 고속 수렴을 정당화한다.
• k = 2에서 23까지의 수치적 검증을 통해 k가 증가할수록 수렴 속도가 증가함을 확인하였으며, k=23일 때는 약 14자리의 π를 한 항당 구할 수 있었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오직 유리수만을 사용하여 임의로 작은 역탄젠트 항을 가진 두 항의 마친-유사 공식을 구성할 수 있는가?
• RQ2 기존의 마친-유사 공식에서 나타나는 무리수 중첩 근호 표현을 어떻게 유리수 근사로 변환하여 계산 효율을 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 이러한 유리화된 두 항의 마친-유사 공식에서 달성 가능한 수렴 속도는 얼마이며, k가 증가함에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 역탄젠트 항의 유리수 근사를 통해 마친-유사 공식의 수렴 속도를 쿠드노프스키 공식 수준으로 끌어올릴 수 있는가?
• RQ5 큰 k 값에서 이러한 공식을 생성하는 데 있어 계산 가능성은 어떻게 되며, 실질적으로 존재하는 제약 조건은 무엇인가?

주요 결과

• k=23일 때, 공식은 1/u₁ ≈ 1.87×10⁻⁷ 과 1/u₂ ≈ 2.27×10⁻⁹ 인 인자를 가지며, 한 항당 약 14자리의 π를 구할 수 있었다.
• k=40일 때, 이론적 수렴 속도는 약 24자리의 π를 m_max의 각 증가분에 대해 달성하며, 쿠드노프스키 공식의 성능과 동일한 수준에 이르렀다.
• 유리수 근사 방법을 통해 역탄젠트 인자에서 무리수를 성공적으로 제거하여 고정밀도 계산을 단순화시켰다.
• 유도된 u₂ 공식은 1/u₁과 1/u₂가 모두 유리수가 되도록 보장하여 반복 계산에서 정확한 유리수 산술을 가능하게 하였다.
• 수치적 실험 결과, m_max의 증가분이 각각 k = 2, 3, 5, 10, 17, 23일 때 약 1, 2, 3, 6, 10, 14자리의 π를 기여하는 것으로 확인되었다.
• 이 방법은 k에 대해 이론적으로 무한히 확장 가능하며, 충분한 계산 자원이 확보된다면 k > 40에서 24자리 초과의 수렴 속도를 달성할 수 있다.