[논문 리뷰] The volume operator in loop quantum cosmology

Wojciech Kamiński|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 18.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 29인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 루프 양자 우주론(LQC)과 웨일러-드위트 모델(k=0, Λ=0, 질량이 없는 스칼라 장과 결합)에서 부피 연산자의 기대값이 거의 모든 상태에서 시간 진화 도중 순식간에 무한대가 되므로 정의되지 않음을 보여준다. 문제의 원인은 부피 스펙트럼에 존재하는 비적분 가능하고 긴 尾部를 가진 성분—역학적으로는 작지만 수치적으로 감지할 수 없는—에 기인한다. 이는 양자 역학의 잘 정의된 동역학을 확보하기 위해 ln V나 arctan V와 같은 유계 관측량으로 제한해야 한다는 점을 시사한다.

ABSTRACT

We show that for basically all states, the evolution of the expectation value of the volume operator in Wheeler-DeWitt and various homogenous isotropic loop quantum comology (LQC) models ($k=0$, coupled to massless scalar field and without cosmological constant) is ill-defined. The expectation value of the volume operator become instantonously infinite during the evolution. The effect is produced by a very long tail in the volume spectrum, that is however semiclassically small and beyond reach of numerical simulations (that is why it went unnoticed so far). This is not necessarily problem of theory but rather it suggests that one should be extremely careful with unbounded observables.

연구 동기 및 목표

• LQC와 웨일러-드위트 모델에서 부피 연산자의 기대값의 수학적 정의 가능성 여부를 조사한다.
• 역학적으로는 정의된 것처럼 보이지만 기대값이 정의되지 않는 원인을 규명한다.
• 부피 연산자의 유계 함수로 제한함으로써 문제를 해결하는 방법을 제안한다.
• 이 문제의 근본 원인이 비자기적 성질이나 우주상수 효과가 아니라 해밀토니안에 존재하는 제곱근에 기인한다는 점을 명확히 한다.

제안 방법

• 웨일러-드위트 모델에서 시간 진화된 상태의 스펙트럼 밀도를 푸리에 변환과 점근 전개 기법을 사용해 해석적으로 유도한다.
• 시간 진화 도중 부피 기대값이 유한하게 유지되는 유일한 상태는 영벡터 또는 해밀토니안의 영벡터임을 증명한다.
• 시간 진화된 가우시안 상태에 대해 부피 스펙트럼 밀도 ρ(v) ∼ 1/(v ln⁴v)를 명시적으로 계산하여 비적분 가능성을 입증한다.
• 부분 적분과 리만-레베그 보조정리를 사용해 파동함수 성분의 점근적 행동을 유도한다.
• 해밀토니안에 절댓값이 포함되어 있는지 여부에 따라 모델을 비교함으로써 제곱근이 문제적 꼬리 성분을 생성하는 역할을 규명한다.
• 군 평균에서의 섹터 혼합 현상에 기반해, 양성 에너지 초선 규칙을 제거하면 문제가 해결될 수 있을 것이라 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 LQC와 WDW 모델에서 상태가 역학적으로 피크를 이룬다 해도 부피 연산자의 기대값이 무한대가 되는가?
• RQ2 기대값이 정의되지 않는 비적분 가능 꼬리 성분이 부피 스펙트럼에 존재하는 근본 원인은 무엇인가?
• RQ3 이 문제는 수치 시뮬레이션에서는 감지되지 않았지만 수학적으로는 중요한 이유는 무엇인가?
• RQ4 ln V나 arctan V와 같은 부피 연산자의 유계 함수는 잘 정의된 양자 역학적 동역학을 복원할 수 있는가?
• RQ5 기본 LQC에서의 양성 에너지 해를 제한하는 조건은 비물리적 잡음으로 이어져 기대값의 정의 불가를 초래하는가?

주요 결과

• 웨일러-드위트 모델에서 시간 진화 도중 부피 기대값이 유한하게 유지되는 유일한 상태는 영벡터이다.
• LQC 모델에서는 해밀토니안의 영벡터만 유한성 조건을 만족하며, 이는 APS 및 sLQC와 같은 표준 모델에서는 자명하다.
• 시간 진화된 상태의 스펙트럼 밀도는 ρ(v) ∼ 1/(v ln⁴v) 형태의 꼬리 성분을 가지며, 이는 v와 곱해졌을 때 비적분 가능하여 부피 기대값이 발산한다.
• 이 꼬리 성분은 초기 상태의 저에너지 성분에서 기인하며, e^{-2σp₀²} 인자에 의해 억제되어 역학적으로는 작고 수치 시뮬레이션에서는 감지되지 않는다.
• 발산의 원인은 비자기성이나 양성 우주상수 효과가 아니라 해밀토니안 정의에 존재하는 제곱근에 기인한다.
• ln V나 arctan V와 같은 부피의 유계 함수는 잘 정의된 기대값과 역학적으로 일관된 결과를 제공할 것으로 기대된다.