[논문 리뷰] The Wiener and Terminal Wiener indices of trees

Yahong Chen, Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 27.

Graph theory and applications참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 베테 나무의 위너 지수와 종단 위너 지수에 대한 잘못된 공식을 수정하고, 베테 나무의 종단 위너 지수에 대한 정확한 공식을 제시한다. 또한 순서 $n$과 최대 차수 $Δ$를 갖는 모든 나무 중에서 종단 위너 지수가 최소가 되는 나무를 특성화하며, 이러한 나무가 중심 정점의 차수가 $Δ$인 별형 나무임을 증명하고, 최소 종단 위너 지수가 $(n-1)(Δ-1)$임을 밝힌다.

ABSTRACT

Heydari \cite{heydari2013} presented very nice formulae for the Wiener and terminal Wiener indices of generalized Bethe trees. It is pity that there are some errors for the formulae. In this paper, we correct these errors and characterize all trees with the minimum terminal Wiener index among all the trees of order $n$ and with maximum degree $Δ$.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 베테 나무의 위너 지수와 종단 위너 지수에 대한 Heydari의 [7] 공식에 존재하는 오류를 수정하기 위해.
• 베테 나무의 종단 위너 지수에 대한 정확하고 일반적인 공식을 유도하기 위해.
• 고정된 순서 $n$과 최대 차수 $\Delta$ 조건 하에서 종단 위너 지수를 최소화하는 나무의 구조를 특성화하기 위해.
• 모든 순서 $n$과 최대 차수 $\Delta$를 갖는 나무들 중에서 종단 위너 지수의 최솟값이 $(n-1)(\Delta-1)$임을 증명하고, 이 값이 최대 차수가 $Δ$인 별형 나무에서 유일하게 달성됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 재귀적 분해와 구성 요소 크기 분석을 이용하여 일반화된 베테 나무의 수정된 위너 지수 공식을 유도한다.
• 모서리의 기여도에 기반한 새로운 나무의 종단 위너 지수 공식을 제안한다: $TW(T) = \sum_{e \in T} p_1(e)p_2(e)$, 여기서 $p_1(e), p_2(e)$는 간선 $e$ 제거 후 두 부분 그래프에 속한 날개 정점의 수이다.
• 수정된 공식을 적용하여 베테 나무와 정규 덴드리머 나무의 종단 위너 지수를 계산한다.
• 나무 변환 기법을 사용하여 $TW(T_{a,b})$와 $TW(T_{a-1,b+1})$를 비교하고, $b > a > 1$일 경우 동일하고, $a = 1$, $b > 1$일 경우 엄격히 증가함을 보인다.
• 구조적 분석을 통해 별형 나무가 아닌 나무는 그 별형 대응체보다 엄격히 큰 종단 위너 지수를 가짐을 증명한다.
• 모든 순서 $n$과 최대 차수 $Δ$를 갖는 나무들 중에서 별형 나무가 종단 위너 지수를 최소화함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 베테 나무의 올바른 위너 지수 공식은 무엇이며, Heydari의 [7] 공식과 어떻게 다릅니까?
• RQ2 베테 나무의 종단 위너 지수에 대한 올바른 표현은 무엇이며, [7]의 오류를 어떻게 수정합니까?
• RQ3 $\mathcal{T}(n,\Delta)$ 내에서 종단 위너 지수가 최소가 되는 나무는 무엇입니까?
• RQ4 최소 종단 위너 지수는 최대 차수가 $Δ$인 별형 나무에서 유일하게 달성됩니까?
• RQ5 나무 분지의 구조적 변화는 종단 위너 지수에 어떻게 영향을 미치며, 특히 날개 정점을 재분배할 경우 어떻게 되나요?

주요 결과

• 일반화된 베테 나무의 수정된 위너 지수 공식은 $W(B_{k+1}) = \sum_{i=1}^{k} n_{i+1} m_i (n - m_i)$이며, 여기서 $n_{i+1}$는 수준 $i+1$에 있는 정점 수이고 $m_i$는 수준 $i$의 정점의 자식 정점에 루트를 둔 한 서브트리의 정점 수이다.
• 베테 나무 $B_{k,d}$의 종단 위너 지수는 $TW(B_{k,d}) = \frac{d^{k-1}}{d-1}[d^{k-1}(kd - k - d) + 1]$로 주어지며, 이는 Heydari의 [7]의 잘못된 표현을 수정한 것이다.
• 정규 덴드리머 나무 $T_{k,d}$의 종단 위너 지수는 $TW(T_{k,d}) = d(d-1)^{k-1}\left[kd(d-1)^{k-1} + \frac{1 - (d-1)^k}{d-2}\right]$로 주어지며, 이는 수정된 공식에서 유도되었다.
• 모든 순서 $n$과 최대 차수 $Δ$를 갖는 나무들 중에서 종단 위너 지수의 최솟값은 $(n-1)(\Delta-1)$이며, 이 값은 중심 정점의 차수가 $Δ$인 별형 나무일 때에만 달성된다.
• 나무 $T_{a,b}$에서 $T_{a-1,b+1}$로의 변환은 $b > a > 1$일 경우 종단 위너 지수를 유지하지만, $a = 1$, $b > 1$일 경우 엄격히 증가시키므로 별형 구조의 최적성은 증명된다.
• 모든 순서 $n$과 최대 차수 $Δ$를 갖는 별형 나무는 동일한 종단 위너 지수 $(n-1)(\Delta-1)$를 가지며, 이는 최소화자 구조가 동형을 제외하고 유일함을 확인한다.